Binomial expansion (på svenska oftast kallat binomialteoremet eller binomialutveckling) beskriver hur potensen av en summa kan skrivas som en summa av termer. Det gäller uttrycket ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 
. Man brukar skilja mellan två huvudfall: när n är ett icke-negativt heltal (då utvecklingen är ändlig) och när n är ett godtyckligt reellt eller komplext tal (då man får en oändlig binomialserie under vissa konvergensvillkor).
Formel för heltal n
Om n är ett icke-negativt heltal gäller den klassiska formen av binomialteoremet:
(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k}.
Här är \binom{n}{k} binomialkoefficienten, som definieras som
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} för 0 ≤ k ≤ n (och \binom{n}{k} = 0 för k utanför detta intervall).
Binomialkoefficienter och Pascals triangel
- Definition: \binom{n}{k} räknar antalet sätt att välja k objekt ur n, utan ordning.
- Rekursiv relation (Pascals regel): \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.
- Symmetri: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
- Radens summa: \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}.
Exempel
- (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
- (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.
- (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.
Dessa koefficienter motsvarar raderna 2, 3 och 4 i Pascals triangel: 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1.
Bevisidéer
- Kombinatoriskt bevis: Utveckla (x+y)^n som produkt av n faktorer (x+y)(x+y)…(x+y). Varje term i utvecklingen fås genom att välja antingen x eller y från varje faktor. En term med exakt k stycken y kommer ha formen x^{n-k}y^{k} och antalet sådana termer är \binom{n}{k}.
- Induktionsbevis: Teoremet kan också visas med matematisk induktion på n med hjälp av Pascals regel för koefficienterna.
Allmännare exponenter (binomialserie)
För godtyckliga reella eller komplexa exponenter α finns en oändlig utveckling kallad binomialserien:
(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k},
där
\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Denna serie konvergerar för |x| < 1 (och även för x = 1 om Re(α) > −1). För exempel blir
- För α = 1/2: (1+x)^{1/2} = 1 + (1/2)x − (1/8)x^2 + … (kvadratrotens utveckling).
- För α = −1: (1+x)^{−1} = 1 − x + x^2 − x^3 + … (den geometriska serien för |x| < 1).
Egenskaper och användningsområden
- Binomialteoremet används ofta i algebra för att förenkla och beräkna potenser av binom.
- Det är centralt i kombinatorik, sannolikhetsteori (t.ex. binomialfördelningen), och i beräkningar av koefficienter i Taylor‑serier.
- Binomialserien är viktig i analys och fysik när man approximativt utvecklar uttryck med icke‑heltaliga exponenter.
Sammanfattning
Binomialteoremet ger en systematisk metod att skriva (x+y)^n som en summa av termer med binomialkoefficienter. För heltal n är utvecklingen ändlig och styrs av \binom{n}{k}; för icke‑heltal fås en oändlig binomialserie med koefficienter baserade på produkter av α, α−1, …, och konvergensen beror på |x|.
