Tröghetsmoment (vinkelmassa) – definition, formler och exempel

Tröghetsmoment ( I {\displaystyle I} ), även kallat "vinkelmassa" (kg-m² ), är en roterande kropps tröghet i förhållande till rotationen.

Det är en roterande kropps motstånd mot vinkelacceleration eller -bromsning och är lika med produkten av massan och kvadraten på dess vinkelavstånd från rotationsaxeln.

Definition och grundformel

Tröghetsmomentet för en godtycklig massa fördelning definieras som

I = ∫ r² dm

där r är avståndet från ett masselement dm till rotationsaxeln. För diskreta massor blir summan I = Σ m_i r_i².

Enheter och fysikaliska samband

• Enhet: kilogram·meter² (kg·m²).
• Rotationsenergi: E_rot = 1/2 I ω², där ω är vinkelhastigheten.
• Vinkelmoment (för symmetriska axlar): L = I ω.

Hur man beräknar I i praktiken

Välj lämpligt massdensitetsuttryck beroende på kroppens typ:

• Volymdensitet: dm = ρ dV (tät kropp).
• Ytdensitet: dm = σ dA (tunn platta).
• Linjedensitet: dm = λ dl (tunn stav).

Sätt upp integral I = ∫ r² dm över hela kroppen och använd symmetri för att förenkla.

Viktiga satser

• Parallellaxel-satsen: I = I_cm + M d², där I_cm är tröghetsmomentet kring masscentrat, M totalmassa och d avstånd mellan axlarna.
• Perpendikuläraxel-satsen (för plana laminer): I_z = I_x + I_y för axlar i planet x och y och z vinkelrät mot planet.

Vanliga formler (axel genom centrum, rotation kring symmetriaxel)

• Punktmassa på avstånd r: I = m r².
• Tunn ring (radie R): I = m R².
• Tjock cylinder / skiva (axel genom centrum): I = 1/2 m R².
• Tunn ihålig cylinder (skalkropp): I = m R².
• Solid sfär (diameteraxel): I = 2/5 m R².
• Tunn sfärisk skal: I = 2/3 m R².
• Tunn stav (längd L) genom centrum, vinkelrät mot stavens längd: I = 1/12 m L².
• Stav genom ena änden, vinkelrät: I = 1/3 m L².
• Rektangulär platta genom centrum, vinkelrät mot planet: I = 1/12 m (a² + b²), där a och b är sidlängder.

Exempel

Diskret: en punktmassa m = 2 kg på avstånd r = 0,5 m från axeln ger I = m r² = 2·0,5² = 0,5 kg·m².

Parallellaxel: om samma massa är en del av ett föremål vars I_cm = 0,2 kg·m² och massans avstånd till den nya axeln är d = 0,5 m och totalmassa M = 2 kg, ger parallellaxel-satsen I = 0,2 + 2·0,5² = 0,7 kg·m².

Inerti-eller tröghetstensor

För allmän orientering bestäms trögheten av en 3×3-matris, inertiatensorn, med komponenter I_ij = ∫ (r² δ_ij − x_i x_j) dm. Tensorformen är nödvändig när rotationsaxeln inte är en huvudaxel eller när kroppen saknar hög symmetri. Egenvärdena för denna matris kallas principalmoment och motsvarar tröghetsmomenten kring principalaxlar.

Tillämpningar och praktiska råd

• Vid konstruktion (maskiner, hjul, rotorblad) påverkar tröghetsmomentet start- och stoppkrafter samt dynamisk stabilitet.
• Använd symmetrier för att förenkla integraler; många kroppar har kända tabellvärden.
• Var noga med att ange vilken axel tröghetsmomentet avser — samma kropp kan ha mycket olika I beroende på axelval.

Sammanfattningsvis beskriver tröghetsmomentet hur massan är fördelad i förhållande till rotationsaxeln. Det bestämmer kroppens motstånd mot att ändra sin rotationsrörelse och spelar en central roll i beräkningar av rotationsenergi, vridmoment och dynamik.

Frågor och svar

F: Vad är tröghetsmoment?

F: Vad är ett annat namn för tröghetsmoment?

F: Vad är måttenheten för tröghetsmoment?

F: Vad är betydelsen av tröghetsmoment?

F: Vad är ekvationen för beräkning av tröghetsmoment?

F: Hur påverkar massan tröghetsmomentet?

F: Hur påverkar radien tröghetsmomentet?

Sök med bokstav