Topologiska rum
Ett topologiskt rum är ett rum som studeras inom topologin, matematiken om formernas struktur. Grovt sett är det en uppsättning saker (som kallas punkter) och ett sätt att veta vilka saker som ligger nära varandra.
Mer precist har ett topologiskt rum en viss typ av mängder, som kallas öppna mängder. Öppna mängder är viktiga eftersom de gör det möjligt att tala om punkter nära en annan punkt, som kallas för punktens grannskap. En punkts grannskap är helt enkelt en öppen mängd som innehåller den punkten. Om man inte har begreppet öppna mängder kan man inte definiera grannskap på ett bra sätt. Om man försöker definiera en punkts grannskap som en mängd som innehåller den punkten, kan det hända att den bara omfattar den punkten och endast den punkten, inte några punkter i närheten av den eller punkter långt bort. Vi har också begreppet slutna mängder, som är komplement till öppna mängder. Det vill säga att alla punkter som inte tillhör en viss öppen mängd utgör en sluten mängd.
Öppna uppsättningar måste följa vissa regler för att de ska stämma överens med våra idéer om närhet. Föreningen av ett obegränsat antal öppna mängder måste vara öppen, och föreningen av ett ändligt antal slutna mängder måste vara sluten. (Den andra regeln fungerar bara för ett ändligt antal slutna mängder. Det beror på att i många fall är en mängd som innehåller en enda punkt sluten. Alla mängder består av punkter. Om den andra regeln gällde för ett oändligt antal slutna mängder skulle varje mängd vara sluten). Som ett specialfall är den mängd som innehåller varje punkt både öppen och sluten. Mängden som inte innehåller några punkter är också både öppen och sluten.
En uppsättning punkter kan ha många olika definitioner av vad en öppen uppsättning är. Man kan tänka sig att endast vissa mängder är öppna, eller att fler mängder är öppna. Man kan till och med anse att alla mängder är öppna. Samma mängd med olika definitioner av öppna mängder bildar olika topologiska rum.
Frågor och svar
Fråga: Vad är ett topologiskt rum?
A: Ett topologiskt rum är en uppsättning punkter tillsammans med ett sätt att veta vilka saker som ligger nära varandra. Det studeras inom matematiken om formers struktur.
F: Vad är öppna mängder?
S: Öppna mängder är viktiga eftersom de gör det möjligt att tala om punkter nära en annan punkt, som kallas för punktens grannskap. De definieras som vissa typer av mängder som kan användas för att definiera grannskap på ett bra sätt.
F: Vad måste öppna mängder följa?
S: Öppna mängder måste följa vissa regler så att de stämmer överens med våra idéer om närhet. Föreningen av ett antal öppna mängder måste vara öppen, och föreningen av ett ändligt antal slutna mängder måste vara sluten.
F: Vad är specialfallet för öppna och slutna mängder?
S: Specialfallet för både öppna och slutna mängder är att den mängd som innehåller varje punkt är både öppen och sluten, och att den mängd som inte innehåller några punkter är både öppen och sluten.
F: Hur påverkar olika definitioner topologiska rum?
S: Olika definitioner av vad en öppen mängd kan påverka topologiska rum genom att endast vissa mängder betraktas som öppna eller mer än vanligt, eller till och med genom att varje mängd betraktas som öppen.
Fråga: Kan oändligt många slutna mängder av slutna mängder bilda en mängd?
S: Nej, om oändligt många slutna mängder vore tillåtna skulle varje mängd betraktas som sluten eftersom varje mängd endast består av punkter.
