Ett topologiskt rum är ett rum som studeras inom topologin, matematiken om formernas struktur. Grovt sett är det en uppsättning punkter tillsammans med ett sätt att tala om vilka punkter som ligger nära varandra. Det formella sättet att göra detta är att ange vilka delmängder av uppsättningen som ska kallas öppna mängder; dessa öppna mängder utgör själva topologin.

Vad krävs för att något ska vara en topologi?

En topologi på en mängd X är en samling τ av delmängder av X (de öppna mängderna) som uppfyller tre enkla axiom:

  • Tomma mängden och hela rummet: ∅ och X tillhör τ.
  • Sluten under godtyckliga föreningar: En förening (union) av en godtycklig familj av öppna mängder är öppen.
  • Sluten under ändliga snitt: En ändlig skärning (intersection) av öppna mängder är öppen.

Dessa krav fångar våra intuitiva idéer om närhet och grannskap. En punkts grannskap är helt enkelt en öppen mängd som innehåller den punkten; sådana grannskap används för att formalisera begrepp som konvergens, kontinuitet och inre/ytor av mängder.

Öppna och slutna mängder — relationen mellan dem

En mängd är sluten om dess komplement (i X) är öppet. Ur axiomen följer flera standardegenskaper:

  • Godtyckliga unioner av öppna mängder är öppna; godtyckliga snitt av slutna mängder är slutna.
  • Ändliga snitt av öppna mängder är öppna; ändliga unioner av slutna mängder är slutna.
  • Både ∅ och X är alltid både öppna och slutna.

Det är även möjligt i vissa topologier att fler mängder än dessa är både öppna och slutna (så kallade klot av typen öppet och slutet).

Exempel på topologier

  • Standardtopologin på ℝ: De öppna intervallen (a, b) och deras godtyckliga unioner bildar en topologi på de reella talen. Det ger den välbekanta geometriska närhetsuppfattningen.
  • Diskret topologi: Varje delmängd av X är öppen. Detta är den mest finfördelade topologin; varje punkt är isolerad.
  • Indiskret (trivial) topologi: Endast ∅ och X är öppna. Detta är den grövsta (minsta) riktningen på närhet.
  • Kofinitopologin: En mängd är öppen om dess komplement är ändligt (eller hela X). Detta visar att olika toppologier på samma mängd ger olika "närhets"-begrepp.

Viktiga begrepp som byggs ovanpå

  • Inre (interior): Inre av A är den största öppna mängden som ligger i A — det som verkligen ligger "inuti" A.
  • Slutning (closure): Slutningen av A är den minsta slutna mängden som innehåller A — det man får om man lägger till alla gränspunkter.
  • Rand (boundary): Randen av A är slutningen minus inre; det är de punkter som inte ligger inuti A men heller inte i det öppna komplementet.
  • Bas (basis): En bas är en samling öppna mängder så att varje öppen mängd kan skrivas som union av basens element. För ℝ är öppna intervall en naturlig bas.
  • Subspace-topologi: Om Y ⊂ X får Y den naturliga topologin där öppna mängder i Y är snittet med öppna mängder i X.
  • Kontinuitet: En funktion f: X → Y mellan topologiska rum är kontinuerlig precis när f^(-1)(U) är öppen i X för varje öppen U i Y. Detta generaliserar den vanliga ε–δ-idén.
  • Homeomorfism: En bijektiv kontinuerlig funktion med kontinuerlig invers. Två rum som är homeomorfa har "samma" topologiska struktur.

Varför topologi spelar roll

Topologi gör det möjligt att studera begrepp som kontinuitet, konvergens och koppling utan att förlita sig på avstånd eller koordinater. Många idéer i analys, geometri, dynamiska system och tillämpad matematik använder topologiska begrepp. Genom att byta vilka mängder som räknas som öppna kan man anpassa begreppet närhet för att fånga olika fenomen — ibland vill man att alla punkter ska vara isolerade (diskret topologi), ibland att ingen punkt är isolerad (indiskret topologi), och ofta något mittemellan (som i ℝ med öppna intervall).

Sammanfattningsvis: ett topologiskt rum är en mängd tillsammans med ett val av öppna mängder som uppfyller vissa enkla regler. Därifrån följer en rik uppsättning begrepp (inre, slutning, rand, kontinutet med mera) som fångar och generaliserar våra intuitiva idéer om närhet och form.