Torsion (vridning) i fasta kroppar — skjuvspänning, vridmoment och formler

Torsion i fasta kroppar – skjuvspänning, vridmoment och tydliga formler för τ, θ, J och G. Förklaringar, exempel och lösningar för axlar och cirkulära sektioner.

Inom fast mekanik är torsion den vridning av ett föremål som är resultatet av ett applicerat vridmoment. I cirkulära sektioner är den resulterande skjuvspänningen vinkelrät mot radien.

Skjuvspänningen i en punkt på axeln är:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T är det applicerade vridmomentet, r är avståndet från rotationscentrumet och J är det polära tröghetsmomentet.

Vridningsvinkeln kan hittas med hjälp av:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Var:

• T = vridmoment (moment), enhet: N·m
• r = radie eller avstånd från centrum till punkten där τ mäts, enhet: m
• J = polärt tröghetsmoment (polärt areamoment), enhet: m4
• θ = total vridningsvinkel över längden L, enhet: rad
• L = axelns längd (eller längd över vilken vridning mäts), enhet: m
• G = skjuvmodulen (materialets skjuvhårdhet), enhet: Pa (N/m2)

Polärt tröghetsmoment J för vanliga cirkulära tvärsnitt

• Solid cirkulär tvärsnitt (radie R): J = (π R4) / 2.
• Håligt (ringformigt) tvärsnitt, ytterradie Ro, innerradie Ri: J = (π (Ro4 − Ri4)) / 2.

Maximal skjuvspänning

• Skjuvspänningen varierar linjärt med r enligt τ(r) = T r / J och är maximal i ytterytan (r = R).
• För solid cirkulär axel: τ_max = 2 T / (π R3).
• För hålaxel: τ_max = 2 T Ro / (π (Ro4 − Ri4)).

Vridningsvinkel, vridstyvhet och vridtöjning

• Total vridningsvinkel: θ = T L / (J G).
• Vridning per längdenhet: dθ/dx = T / (J G).
• Skjuvtöjning (i radie r): γ(r) = r · dθ/dx = T r / (J G).
• Hookes lag för skjuvning: τ = G γ, vilket leder tillbaka till τ = T r / J.
• Vridstyvheten (vridtrögheten) K = T / θ = G J / L.

Energi och effekt

• Då ett vridmoment T roterar med vinkelhastigheten ω (rad/s) är den överförda effekten: P = T · ω.
• Lagrad vridningsenergi i en axel: U = (1/2) T θ = (1/2) (G J / L) θ2 = (1/2) T2 L / (G J).

Material- och brottkriterier

• I rent vridningstillstånd är huvudspänningarna rent skjuvspänningsfält. På plan som lutar 45° relativt tvärsnittet uppträder normala huvudspänningar med magnitud τ.
• Tresca (maximal skjuvspänning) kriterium: flytning när τ_max = σ_y / 2 (σ_y = flytgräns i dragprov).
• von Mises ekvivalentspänning för rent skjuvning: σ_vm = √3 · τ.

Icke‑cirkulära tvärsnitt och warping

• För icke‑cirkulära tvärsnitt (t.ex. rektangulära, öppna I‑profiler) gäller inte enkelt τ = T r / J med J = polärt tröghetsmoment. Dessa sektioner kan ge upphov till warping (axial deformering av tvärsnittet) och spänningsfältet blir mer komplicerat.
• För generella tvärsnitt används St. Venant‑torsionsteori och man definierar ofta en torsionskonstant J_t (ibland kallad torsional constant eller St. Venant constant) som bestämmer vridstyvheten G J_t.
• För tunna, slutna väggprofiler (till exempel tunnväggig sluten rektangel eller cirkel) gäller approximativt: J_t = 4 A_m2 / ∮(ds / t) (där A_m är det medelstängda området, ds är längdeelementet runt medellinjen och t är godstjockleken). För öppna eller massiva icke‑cirkulära sektioner måste J_t bestämmas numeriskt eller ur tabeller.

Antaganden och begränsningar

• Formlerna ovan för cirkulära axlar bygger på linjär elasticitet, små deformationer och att skjuvspänningen fördelas enligt Saint‑Venant (vridmomentet är koncentrerat och långa nog axlar så att randvillkor långt från ändarna inte påverkar).
• Vid stora vridningar, plastiska deformationer eller dynamiska laster krävs mer avancerade analyser.

Kort exempel

Anta en solid cirkulär axel med R = 0,02 m (20 mm), T = 200 N·m, L = 1,0 m och G = 79 GPa.

• J = π R4 / 2 = π (0,02)4 / 2 ≈ 1,005 × 10−8 m4.
• τ_max = 2 T / (π R3) ≈ 2·200 / (π · 0,023) ≈ 159 MPa.
• θ = T L / (J G) ≈ 200·1 / (1,005e−8 · 79e9) ≈ 0,025 rad ≈ 1,43°.

Sammanfattningsvis: för cirkulära tvärsnitt är torsion enkelt beskrivet med τ = T r / J och θ = T L / (J G). För icke‑cirkulära tvärsnitt måste man använda torsionskonstanter och ta hänsyn till warping och annan komplex beteende.

Frågor och svar

F: Vad är torsion?

F: Hur är skjuvspänning relaterad till torsion?

F: Vilken ekvation kan användas för att beräkna skjuvspänningen vid en punkt på en axel?

F: Vilken ekvation kan användas för att hitta vridningsvinkeln?

F: Vad står "T" för i ekvationerna för skjuvspänning och vridningsvinkel?

F: Vad står "r" för i ekvationen för skjuvspänning?

F: Vad står "J" för i båda ekvationerna?

Sök med bokstav