Polar tröghetsmoment

Observera: Olika discipliner använder termen tröghetsmoment för att hänvisa till olika moment. Inom fysiken är tröghetsmomentet i strikt mening det andra massmomentet med avseende på avståndet från en axel, vilket kännetecknar ett föremåls vinkelacceleration på grund av ett applicerat vridmoment. Inom ingenjörsvetenskapen (särskilt inom mekanik och civilteknik) hänvisar tröghetsmomentet vanligen till områdets andra moment. När man läser polärt tröghetsmoment bör man kontrollera att det handlar om "polar second moment of area" och inte om tröghetsmomentet. Polärt andra ytmoment har enheterna längd i fjärde potens (t.ex. m 4 {\displaystyle m^{4}} eller i n 4 {\displaystyle in^{4}}} ), medan tröghetsmomentet är massa gånger längd i kvadrat (t.ex. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} eller l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Det polära andra ytmomentet (även kallat "polärt tröghetsmoment") är ett mått på ett föremåls förmåga att motstå vridning som en funktion av dess form. Det är en aspekt av det andra ytmomentet som är kopplat till teoremet om den vinkelräta axeln, där det plana andra ytmomentet använder en balks tvärsnittsform för att beskriva dess motståndskraft mot deformation (böjning) när den utsätts för en kraft som appliceras i ett plan parallellt med dess neutrala axel, medan det polära andra ytmomentet använder en balks tvärsnittsform för att beskriva dess motståndskraft mot deformation (vridning) när ett moment (vridmoment) appliceras i ett plan som är vinkelrätt på balkens neutrala axel. Medan det plana andra ytmomentet oftast betecknas med bokstaven I {\displaystyle I} , betecknas det polära andra ytmomentet oftast med antingen I z {\displaystyle I_{z}} eller bokstaven J {\displaystyle J} i tekniska läroböcker.

De beräknade värdena för det polära andra ytmomentet används oftast för att beskriva en massiv eller ihålig cylindrisk axels motståndskraft mot vridning, t.ex. i en fordons axel eller drivaxel. När de tillämpas på icke-cylindriska balkar eller axlar blir beräkningarna av det polära andra ytmomentet felaktiga på grund av axelns/balkens förvridning. I dessa fall bör en torsionskonstant användas, där en korrigeringskonstant läggs till vid beräkningen av värdet.

Det polära andra momentet för area bär enheterna längd till fjärde potensen ( L 4 {\displaystyle L^{4}}} ); meter till fjärde potensen ( m 4 {\displaystyle m^{4}}} ) i det metriska enhetssystemet, och tum till fjärde potensen ( i n 4 {\displaystyle in^{4}}} ) i det imperiala enhetssystemet. Den matematiska formeln för direkt beräkning ges som ett multipelintegral över en forms area, R {\displaystyle R} på ett avstånd ρ {\displaystyle \rho } från en godtycklig axel O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

I den enklaste formen är det polära andra arealmomentet en summering av de två plana andra arealmomenten I x {\displaystyle I_{x}} och I y {\displaystyle I_{y}}. . Med hjälp av Pythagoras sats kan avståndet från axeln O {\displaystyle O} , ρ {\displaystyle \rho } , kan delas upp i dess x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} komponenter, och förändringen i area, d A {\displaystyle dA} , uppdelad i dess x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} komponenter, d x {\displaystyle dx} och d y {\displaystyle dy} .

Med tanke på de två formlerna för de plana andra momenten av area:

I x = ∬ R x x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} och I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Förhållandet till det polära andra momentet av arean kan visas som:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \därför J=I_{x}+I_{y}}

När storleken på det polära andra ytmomentet ökar (dvs. om föremålet har ett stort tvärsnitt) krävs mer vridmoment för att orsaka en vridning av föremålet. Det bör dock noteras att detta inte har någon betydelse för den vridstyvhet som ett föremål får genom sina materialkomponenter; det polära andra ytmomentet är helt enkelt den styvhet som ett föremål får enbart genom sin form. Den vridstyvhet som materialegenskaperna ger är känd som skjuvmodulen G {\displaystyle G} . Genom att koppla samman dessa två komponenter av styvhet kan man beräkna en balks vridningsvinkel, θ {\displaystyle \theta } med hjälp av:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Där T {\displaystyle T} är det applicerade momentet (vridmomentet) och l {\displaystyle l} är balkens längd. Som framgår leder högre vridmoment och balklängder till större vinkelavvikelser, där högre värden för det polära andra ytmomentet J {\displaystyle J} och materialets skjuvmodul, G {\displaystyle G} , minskar potentialen för vinkelavvikelser.

Frågor och svar

F: Vad är tröghetsmomentet inom fysiken?

F: Vad avser det polära andra ytmomentet inom teknik?

F: Hur beräknar man ett polärt andra arealmoment?

Sök med bokstav