Polärt andra ytmoment (polärt tröghetsmoment) — definition och formel

Polärt andra ytmoment — klar definition och formel för beräkning av vridstyvhet i tvärsnitt. Praktiska exempel för axlar, cylindrar och ingenjörsberäkningar.

Observera: Olika discipliner använder termen tröghetsmoment för att hänvisa till olika moment. Inom fysiken är tröghetsmomentet i strikt mening det andra massmomentet med avseende på avståndet från en axel, vilket kännetecknar ett föremåls vinkelacceleration på grund av ett applicerat vridmoment. Inom ingenjörsvetenskapen (särskilt inom mekanik och civilteknik) hänvisar tröghetsmomentet vanligen till områdets andra moment. När man läser polärt tröghetsmoment bör man kontrollera att det handlar om "polar second moment of area" och inte om tröghetsmomentet. Polärt andra ytmoment har enheterna längd i fjärde potens (t.ex. m 4 {\displaystyle m^{4}} eller i n 4 {\displaystyle in^{4}}} ), medan tröghetsmomentet är massa gånger längd i kvadrat (t.ex. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} eller l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Det polära andra ytmomentet (även kallat polärt tröghetsmoment) är ett geometriskt mått på ett tvärsnitts förmåga att motstå vridning. Det beskriver hur materialets area är fördelad i förhållande till en axiell punkt eller axel och påverkar hur mycket vridmoment som krävs för att åstadkomma en viss skjuvspänning eller vridning i tvärsnittet.

Definition och matematisk formulering

Det polära andra ytmomentet för ett område R kring en punkt eller axel O uttrycks som ett dubbelintegral över området:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Med koordinater i planen kan avståndet ρ skrivs som ρ² = x² + y², vilket ger

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

Eftersom de plana andra ytmomenten (centroidala) definieras som

I x = ∬ R x x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} och I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

gäller den enkla relationen

∴ J = I x + I y {\displaystyle \därför J=I_{x}+I_{y}}

Enheter och skrivsätt

Det polära andra arealmomentet har enheten längd⁴ (L 4 {\displaystyle L^{4}}). I SI används t.ex. m 4 {\displaystyle m^{4}}, i ASCII/imperial typiskt in 4 {\displaystyle in^{4}}. I teknisk litteratur betecknas det ofta I z {\displaystyle I_{z}} eller med bokstaven J {\displaystyle J} beroende på konvention och axelval.

Användning i torsionsproblem och begränsningar

För axiellt symmetriska tvärsnitt (t.ex. cirkulära massiva eller ihåliga axlar) används J för att relatera vridmomentet T till skjuvspänningen τ och till vridningsvinkeln θ:

• Skjuvspänningsfördelning (linjär med radien): τ(ρ) = T ρ / J, där ρ är avståndet från centrum.
• Vinkelvridning längs en axel med längd l: θ = T l / (J G) {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} (G = skjuvmodulen för materialet).

Dessa samband är giltiga för cirkulära tvärsnitt enligt Saint-Venants teori. För icke-cirkulära tvärsnitt leder warping (vridningsdeformation i tvärsnittet) till att det geometriska J inte fullt ut beskriver torsionsbeteendet. Då används en torsionskonstant (ofta benämnd J_t eller C), som inbegriper korrigeringar för tvärsnittets form och eventuell warping.

Vanliga slutna uttryck (exempel)

För många standardprofiler finns stängda formler för J:

• Solid cirkulärt tvärsnitt, radie r (diameter d): J = (π/2) r⁴ = (π/32) d⁴.
• Ihåligt cirkulärt (ringar): J = (π/2) (r_o⁴ − r_i⁴) = (π/32) (d_o⁴ − d_i⁴).
• Rektangulärt tvärsnitt med bredd b och höjd h (centroidalt): J = I_x + I_y = (b h³ /12) + (h b³ /12) = (b h (h² + b²)) / 12. Observera att detta J ger en geometrisk summa av plana moment men för rektangelns torsionsbeteende är det inte samma som torsionskonstanten — rektanglar kräver ofta en annan konstant (t.ex. C ≈ β b h³, beroende på proportioner).

Praktiskt räkneexempel

Exempel: Solid rund axel med diameter d = 20 mm = 0,02 m. Då är

J = (π/32) d⁴ = (π/32) (0,02)⁴ ≈ 1,57·10⁻⁸ m⁴.

Om ett vridmoment T = 100 N·m appliceras på en axel av längd l = 1 m av ett material med skjuvmodulen G = 80 GPa (8·10¹⁰ N/m²), blir vridningsvinkeln

θ = T l / (J G) ≈ (100·1) / (1,57·10⁻⁸ · 8·10¹⁰) ≈ 0,079 rad ≈ 4,5°.

(Exemplet visar hur en liten J leder till relativt stora vinkelförändringar; välj dimensioner och material efter krav på vridstyvhet.)

Täckning och varningar

Viktigt: Se upp för förväxling mellan det polära areamomentet (J, enhet L⁴) och massmomentet (polärt massmoment eller tröghetsmoment i fysikalisk mening, enhet M·L²). De representerar helt olika fysiska begrepp: det ena är rent geometriskt (area-fördelning), det andra handlar om massfördelning och rotationsdynamik.

För icke-cirkulära tvärsnitt och för tillämpningar där exakt torsionsbeteende krävs (t.ex. tunna väggiga profiler, rektanglar, T-/I-profiler) måste man använda rätt torsionskonstant och ibland numeriska metoder (FEA) eller korrigerande faktor enligt Saint-Venants teori för att få rätt resultat.

Sammanfattning

• Polärt andra ytmoment (polärt tröghetsmoment) är ett geometriskt mått för tvärsnitts förmåga att motstå vridning; J = ∬_R ρ² dA.
• För cirkulära tvärsnitt är J särskilt lämpligt och ger korrekta samband för skjuvspänning och vinkelvridning.
• För icke-cirkulära tvärsnitt är J = I_x + I_y fortfarande sant rent geometriskt, men för torsionsberäkningar behövs ofta en torsionskonstant och hänsyn till warping.
• Håll isär begreppen: geometriskt area-moment (L⁴) och massmoment/tröghetsmoment (M·L²).

Frågor och svar

F: Vad är tröghetsmomentet inom fysiken?

F: Vad avser det polära andra ytmomentet inom teknik?

F: Hur beräknar man ett polärt andra arealmoment?

Sök med bokstav