Vorticitet – vad är det? Definition, matematik och tillämpningar

Upptäck vad vorticitet är — definition, matematisk formel, fysik bakom rotation i vätskor och praktiska tillämpningar inom strömningsdynamik.

Vorticitet är ett matematiskt begrepp som används inom strömningsdynamik. Det kan relateras till mängden "cirkulation" eller "rotation" (eller mer strikt, den lokala vinkelhastigheten för rotation) i en vätska.

Den genomsnittliga vorticiteten i ett litet område med vätskeflöde är lika med cirkulationen Γ {\displaystyle \Gamma } runt gränsen för det lilla området, dividerat med området A i det lilla området.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Begreppsmässigt är vorticiteten vid en punkt i en vätska gränsen när arean av den lilla vätskeregionen närmar sig noll vid punkten:

ω = d Γ Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

Matematiskt sett är vorticiteten i en punkt en vektor och definieras som hastighetens krökning:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. }

Ett av grundantagandena för antagandet om potentiellt flöde är att vorticiteten ω {\\displaystyle \omega } är noll nästan överallt, utom i ett gränsskikt eller en strömyta som omedelbart avgränsar ett gränsskikt.

Eftersom en virvel är ett område med koncentrerad vorticitet, kan den icke-nollvirvel som finns i dessa specifika områden modelleras med virvlar.

Matematisk tolkning och varianter

Vorticiteten är vektorfältet som ges av rotationsoperatorn (curl) av hastighetsfältet: ω = ∇ × v. Enhetsmåttet är 1/s (sekunder upphöjt till −1) eftersom det motsvarar en vinkelhastighet. I tredimensionella flöden är vorticiteten en vektor; i tvådimensionella plana flöden (v = (u(x,y), v(x,y), 0)) reduceras vorticiteten till en skalärkomponent vinkelrätt mot flödesplanet:

ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y

Vorticitetens komponenter kan också uttryckas med Levi-Civita-symbolen: ω_i = ε_ijk ∂v_k/∂x_j.

Egenskaper och bevarandelagar

• Solenoidalt fält: Eftersom ∇·(∇×v) = 0 är divergensen av vorticiteten alltid noll, vilket betyder att vorticitetsfältet är "flödesfritt" (inga källor eller sänkor).
• Virvellägen och virvelrör: Virvellinjer är kurvor som är tangent till vorticitetsvektorn i varje punkt. Virvelrör (vortex tubes) bildas av en mängd intilliggande virvellinjer och bevaras under ideala inviscida förhållanden (Helmholtz lagar).
• Kelvins cirkulationssats: För en inviscid, barotropisk vätska utan externa vridande kroppskrafter är cirkulationen kring en materialslingskonstant i tiden (cirkulation bevaras).
• Vortex-stretching: I tredimensionella flöden kan vorticiteten förstärkas av sträckning av virvellägre (termen (ω·∇)v i vorticitetsekvationen). Detta är en viktig mekanism för energitransfer i turbulens.

Vorticitetens transportekvation (kort)

I en inkompressibel, viskös vätska (Navier–Stokes) kan vorticiteten beskrivas av transportekvationen:

∂ω/∂t + (v·∇)ω = (ω·∇)v + ν∇²ω + ∇×(f/ρ),

där ν är kinematisk viskositet och f/ρ står för externa volumetriska krafter per massenhet. Vänsterledet beskriver materialtransport; högerledet innehåller vortex-stretching, diffusion genom viskositet och rotation orsakad av externa krafter.

Exempel

• Solid body rotation: För stelkroppsrotation med v = Ω × r är vorticiteten konstant och lika med 2Ω. Det visar att vorticitet motsvarar lokal vinkelhastighet hos ett infinitesimalt fluidelement.
• 2D punktvirvel: Ett idealiserat tvådimensionellt flöde kring en punktvirvel med cirkulation Γ ger tangential hastighet vθ = Γ/(2πr). Vorticiteten är noll utanför singulariteten och all vorticitet är koncentrerad i centrum (i en ideal modell en delta-fördelning).

Tillämpningar

• Meteorologi och oceanografi: Cirkulation och vorticitet förklarar bildandet av låg- och högtryck (cykloner/anticykloner), strömmar och mesoskaliga virvlar i havet.
• Aerodynamik: Flödet runt vingar skapar bundna virvlar och avlagrade virvlar i vingenas bakre kant och i vingspetsarna; dessa är centrala för lyft enligt Kutta–Joukowski-satsen (lyft per längdenhet L' = ρ U Γ) och för förståelsen av bakvirvlar i flygplansvingar.
• Teknisk tillämpning: I förbränningskammare, blandare och turbomaskiner är vorticitet viktig för blandningseffektivitet och turbulensgenerering.
• Numerisk modellering och mätning: Vorticitet kan beräknas från hastighetsfält mätta med t.ex. PIV (Particle Image Velocimetry) eller från direkt numeriska simuleringar (DNS). I numeriska metoder används även virvelmetoder (punktvirvlar, virvelfilament) och Biot–Savarts lag för att räkna ut inducerade hastigheter från en given vorticitetsfördelning.

Vanliga missuppfattningar

• Att vorticitet alltid betyder att man ser en tydlig "virvel" på makroskala. Ett flöde kan ha vorticitet utan att bilda synliga virvlar; vorticitet beskriver lokal rotation hos ett infinitesimalt fluidelement.
• Att potentiellt flöde alltid är ett bra modell: Potentialflödesantagandet (ω = 0) kan fungera bra utanför gränsskikt och bakomvarande skuggor, men missar gränsskikt, separation och vaken — områden där vorticitet spelar en avgörande roll.

Sammanfattningsvis är vorticitet ett centralt begrepp i strömningsdynamik som kopplar samman lokal rotationshastighet, cirkulation och viktiga dynamiska processer som virvelbildning, sträckning och turbulens. För praktiska tillämpningar och fysisk förståelse är både matematiska uttryck (∇×v) och fenomenologiska modeller (virvlar, virvelfilament, gränsskikt) viktiga verktyg.

Frågor och svar

F: Vad är vorticity?

F: Hur beräknas vorticiteten?

F: Finns det något grundantagande i samband med vorticitet?

F: Vad händer när det finns områden med andra värden än noll i vorticitet?

Fråga: Vad representerar Γ?

F: Vad representerar ω?

Sök med bokstav