Vorticitet är ett matematiskt begrepp som används inom strömningsdynamik. Det kan relateras till mängden "cirkulation" eller "rotation" (eller mer strikt, den lokala vinkelhastigheten för rotation) i en vätska.

Den genomsnittliga vorticiteten i ett litet område med vätskeflöde är lika med cirkulationen Γ {\displaystyle \Gamma }{\displaystyle \Gamma } runt gränsen för det lilla området, dividerat med området A i det lilla området.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}} {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Begreppsmässigt är vorticiteten vid en punkt i en vätska gränsen när arean av den lilla vätskeregionen närmar sig noll vid punkten:

ω = d Γ Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}} {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

Matematiskt sett är vorticiteten i en punkt en vektor och definieras som hastighetens krökning:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. } {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}.}

Ett av grundantagandena för antagandet om potentiellt flöde är att vorticiteten ω {\\displaystyle \omega }{\displaystyle \omega } är noll nästan överallt, utom i ett gränsskikt eller en strömyta som omedelbart avgränsar ett gränsskikt.

Eftersom en virvel är ett område med koncentrerad vorticitet, kan den icke-nollvirvel som finns i dessa specifika områden modelleras med virvlar.

Matematisk tolkning och varianter

Vorticiteten är vektorfältet som ges av rotationsoperatorn (curl) av hastighetsfältet: ω = ∇ × v. Enhetsmåttet är 1/s (sekunder upphöjt till −1) eftersom det motsvarar en vinkelhastighet. I tredimensionella flöden är vorticiteten en vektor; i tvådimensionella plana flöden (v = (u(x,y), v(x,y), 0)) reduceras vorticiteten till en skalärkomponent vinkelrätt mot flödesplanet:

ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y

Vorticitetens komponenter kan också uttryckas med Levi-Civita-symbolen: ω_i = ε_ijk ∂v_k/∂x_j.

Egenskaper och bevarandelagar

  • Solenoidalt fält: Eftersom ∇·(∇×v) = 0 är divergensen av vorticiteten alltid noll, vilket betyder att vorticitetsfältet är "flödesfritt" (inga källor eller sänkor).
  • Virvellägen och virvelrör: Virvellinjer är kurvor som är tangent till vorticitetsvektorn i varje punkt. Virvelrör (vortex tubes) bildas av en mängd intilliggande virvellinjer och bevaras under ideala inviscida förhållanden (Helmholtz lagar).
  • Kelvins cirkulationssats: För en inviscid, barotropisk vätska utan externa vridande kroppskrafter är cirkulationen kring en materialslingskonstant i tiden (cirkulation bevaras).
  • Vortex-stretching: I tredimensionella flöden kan vorticiteten förstärkas av sträckning av virvellägre (termen (ω·∇)v i vorticitetsekvationen). Detta är en viktig mekanism för energitransfer i turbulens.

Vorticitetens transportekvation (kort)

I en inkompressibel, viskös vätska (Navier–Stokes) kan vorticiteten beskrivas av transportekvationen:

∂ω/∂t + (v·∇)ω = (ω·∇)v + ν∇²ω + ∇×(f/ρ),

där ν är kinematisk viskositet och f/ρ står för externa volumetriska krafter per massenhet. Vänsterledet beskriver materialtransport; högerledet innehåller vortex-stretching, diffusion genom viskositet och rotation orsakad av externa krafter.

Exempel

  • Solid body rotation: För stelkroppsrotation med v = Ω × r är vorticiteten konstant och lika med 2Ω. Det visar att vorticitet motsvarar lokal vinkelhastighet hos ett infinitesimalt fluidelement.
  • 2D punktvirvel: Ett idealiserat tvådimensionellt flöde kring en punktvirvel med cirkulation Γ ger tangential hastighet vθ = Γ/(2πr). Vorticiteten är noll utanför singulariteten och all vorticitet är koncentrerad i centrum (i en ideal modell en delta-fördelning).

Tillämpningar

  • Meteorologi och oceanografi: Cirkulation och vorticitet förklarar bildandet av låg- och högtryck (cykloner/anticykloner), strömmar och mesoskaliga virvlar i havet.
  • Aerodynamik: Flödet runt vingar skapar bundna virvlar och avlagrade virvlar i vingenas bakre kant och i vingspetsarna; dessa är centrala för lyft enligt Kutta–Joukowski-satsen (lyft per längdenhet L' = ρ U Γ) och för förståelsen av bakvirvlar i flygplansvingar.
  • Teknisk tillämpning: I förbränningskammare, blandare och turbomaskiner är vorticitet viktig för blandningseffektivitet och turbulensgenerering.
  • Numerisk modellering och mätning: Vorticitet kan beräknas från hastighetsfält mätta med t.ex. PIV (Particle Image Velocimetry) eller från direkt numeriska simuleringar (DNS). I numeriska metoder används även virvelmetoder (punktvirvlar, virvelfilament) och Biot–Savarts lag för att räkna ut inducerade hastigheter från en given vorticitetsfördelning.

Vanliga missuppfattningar

  • Att vorticitet alltid betyder att man ser en tydlig "virvel" på makroskala. Ett flöde kan ha vorticitet utan att bilda synliga virvlar; vorticitet beskriver lokal rotation hos ett infinitesimalt fluidelement.
  • Att potentiellt flöde alltid är ett bra modell: Potentialflödesantagandet (ω = 0) kan fungera bra utanför gränsskikt och bakomvarande skuggor, men missar gränsskikt, separation och vaken — områden där vorticitet spelar en avgörande roll.

Sammanfattningsvis är vorticitet ett centralt begrepp i strömningsdynamik som kopplar samman lokal rotationshastighet, cirkulation och viktiga dynamiska processer som virvelbildning, sträckning och turbulens. För praktiska tillämpningar och fysisk förståelse är både matematiska uttryck (∇×v) och fenomenologiska modeller (virvlar, virvelfilament, gränsskikt) viktiga verktyg.