Wavelet-transform

Wavelet-transformen är en tidsfrekvensrepresentation av en signal. Vi använder den till exempel för att minska brus, utvinna funktioner eller komprimera signaler.

Wavelet-transformen av en kontinuerlig signal definieras som

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

där

  • ψ {\displaystyle \psi }\psi är en så kallad moderwavelet,
  • a {\displaystyle a}a betecknar utspädning av wavelet,
  • b {\displaystyle b}{\displaystyle b} betecknar tidsförskjutning av wavelet och
  • {\displaystyle *} {\displaystyle *}symbolen betecknar komplex konjugat.

Vid a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} och b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}, där a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} och m {\displaystyle T>0}{\displaystyle m} och km {\displaystyle k} är kheltalskonstanter, kallas wavelettransformen för diskret wavelettransform (av kontinuerlig signal).

Vid a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} och b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}där m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}kallas den diskreta wavelettransformen för dyadisk. Den definieras som

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

där

  • m {\displaystyle m}m är frekvensskalan,
  • k {\displaystyle k}k är tidsskalan och
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} är en konstant som beror på modervågen.

Det är möjligt att skriva om den dyadiska diskreta wavelettransformen som

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

där h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} är impulskarakteristiken för ett kontinuerligt filter som är identiskt med ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} för ett givet m {\displaystyle m}m .

Analogt definieras dyadisk wavelettransform med diskret tid (av diskret signal) som

Kontinuerlig wavelet-transform av en signal från en frekvensfördelning. Används symlet med 5 försvinnande moment.Zoom
Kontinuerlig wavelet-transform av en signal från en frekvensfördelning. Används symlet med 5 försvinnande moment.

Frågor och svar

F: Vad är wavelettransformationen?


S: Wavelet-transformen är en tidsfrekvensrepresentation av en signal som används för att minska brus, utvinna funktioner eller komprimera signaler.

F: Hur definieras wavelettransformen av kontinuerliga signaler?


Svar: Wavelettransformationen av kontinuerliga signaler definieras som en integral över alla värden av en funktion multiplicerad med en moderwavelet, där parametrarna "a" och "b" anger dilatationen respektive tidsförskjutningen.

F: Vad är dyadiska diskreta wavelettransformationer?


S: Dyadiska diskreta wavelettransformer är diskreta versioner av de vanliga diskreta wavelettransformerna med frekvensskalan "m", tidsskalan "k" och konstanten "T". De kan skrivas om som en integral över alla värden av en funktion multiplicerad med ett impulskaraktäristiskt filter som är identiskt med modervågen för en given m.

F: Vad avser "moderwavelet" i detta sammanhang?


S: I det här sammanhanget avser "moderwaveletter" funktioner som används tillsammans med andra funktioner för att bilda grunden för att beräkna en viss typ av transformation (i det här fallet Wavelet-transformationen).

F: Hur beräknar man dyadiska diskreta Wavelets?


S: Dyadiska diskreta waveletter beräknas med hjälp av ett integralvärde över alla värden av en funktion multiplicerat med ett impulskarakteristiskt filter som är identiskt med moderwaveletten för en given m. Dessutom kräver de frekvensskalan m, tidsskalan k och konstanten T som parametrar.

F: Vad står "a" och "b" för när man definierar kontinuerliga waveletter?


S: När man definierar kontinuerliga Wavelets står "a" för dilatation och "b" för tidsförskjutning.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3