Översikt

Wavelet-transformen är en metod för att analysera signaler i både tid och frekvens samtidigt. Till skillnad från den klassiska Fouriertransformen, som beskriver en signal som en summa av oändligt utsträckta sinuskomponenter, bygger waveletmetoder på korta vågformer (wavelets) som kan skalas och förskjutas. Detta gör att man kan få lokal information om frekvensinnehåll över tiden och arbeta effektivt med icke-stationära signaler såsom korta transienter eller övergångar. {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,}

Kontinuerlig wavelettransform

Den kontinuerliga wavelettransformen (CWT) representerar en signal f(t) genom korrelation mot en familj av wavelets som avleds från en så kallad moderwavelet (eller moderfunktion). Moderwaveletens form betecknas ofta med ψ och används i skalning (utspädning) a och tidsförskjutning b. Genom att ändra a och b erhålls en tvådimensionell representation som visar hur olika skalor (ungefär motsvarande frekvenser) varierar över tiden. I praktiken väljer man en moderwavelet som passar det fenomen som ska studeras; vissa wavelets är bättre för att upptäcka plötsliga förändringar, andra för att få bra frekvensupplösning. Complex conjugation kan förekomma i definitionen när man arbetar med komplexa wavelets. \psi a {\displaystyle b} {\displaystyle *}

Diskret wavelettransform och dyadisk skala

För numerisk tillämpning diskretiseras ofta CWT genom att skalan och förskjutningen väljs med geometriska steg. Den diskreta wavelettransformen (DWT) uppstår när a och b väljs enligt a = a0^m och b = a0^m k T, där a0 > 1, T > 0 och m, k är heltal. Ett särskilt vanligt val är a0 = 2, vilket ger dyadisk skala: a = 2^m. Den dyadiska DWT förenklar beräkningarna och leder till en hierarkisk, multiresolution-analys där signalen successivt delas upp i grova (lågfrekventa) och detaljerade (högfrekventa) komponenter. Parametrarna m och k styr respektive skala och tidsposition i analysen. {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle T>0} m k

Filterbankperspektivet och viktiga egenskaper

I diskreta implementationer realiseras wavelet-analys ofta genom tvåkanalsfilterbanker: ett lågpassfilter för aproxima­tionskoefficienter och ett högpassfilter för detaljkoefficienter. För varje nivå i hierarkin samplas och subbandfiltreras signalen vidare. Den dyadiska transformen går att uttrycka som konvolution mot impulssvar h_m som svarar mot skalade och konjugerade varianter av moderwaveleten; detta samband ligger till grund för effektiva numeriska algoritmer. Ortonormalitet, kompakt stöd och antalet vanishing moments är viktiga egenskaper hos wavelets som påverkar hur bra de representerar polynomiska trender och hur lokaliserade de är i tid. Namn som Daubechies förknippas ofta med konstruktionen av korta, ortogonala wavelets med goda matematiska egenskaper, särskilt för signalbehandling. {\displaystyle a=2^{m}} {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle m>0} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} m k {\displaystyle T}

Tillämpningar och exempel

Wavelet-transformen är praktiskt användbar inom många områden. Vanliga tillämpningar är brusreducering (där små vågkoefficienter trösklas bort), komprimering av bilder och ljud (till exempel i standarder som JPEG2000), funktionsextraktion i maskininlärning, och analys av tidsserier i geofysik och biomedicin. Inom medicinsk signalbehandling används wavelets för att isolera hjärtsignaler eller EEG-transienter, medan i industriella applikationer de kan upptäcka defekter i vibrationsdata. Metodens styrka är flexibiliteten att anpassa analysens tids- och frekvensupplösning efter problemet. {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} {\displaystyle h_{m}} {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} m

Skillnader, begränsningar och vidare läsning

Waveletmetoder skiljer sig från korttids-Fouriertransformen (STFT) genom att de har skalberoende fönster: breda fönster för låga frekvenser och smala för höga frekvenser, vilket ger bättre analys av skalberoende fenomen. Begränsningar kan vara val av olämplig moderwavelet, kantproblem vid diskretisering och tolkningssvårigheter av koefficienter i komplexa system. För den som vill fördjupa sig finns både teoretiska och praktiska resurser; introduktioner till ämnet och bibliotek för numerisk implementering finns ofta beskrivna i kurslitteratur och programvarudokumentation. Se även grundläggande introduktion, tekniska detaljer om moderwavelets val och praktiska exempel på implementationer via kod och bibliotek.