Wavelet

En Wavelet är en matematisk funktion som används för att skriva ner en funktion eller signal i termer av andra funktioner som är enklare att studera. Många signalbehandlingsuppgifter kan ses i termer av en wavelettransform. Informellt uttryckt kan signalen ses under linsen med en förstoring som ges av våveletens skala. På så sätt kan vi bara se den information som bestäms av formen på den använda waveletten.

Den engelska termen "wavelet" introducerades i början av 1980-talet av de franska fysikerna Jean Morlet och Alex Grossman. De använde det franska ordet "ondelette" (som betyder "liten våg"). Senare fördes detta ord in på engelska genom att översätta "ondelette" till "wave", vilket gav "wavelet".

Wavelet är en (komplex) funktion från Hilbert-rummet ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . För praktiska tillämpningar bör den uppfylla följande villkor.

Den måste ha begränsad energi.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Den måste uppfylla ett villkor för att kunna tas upp till prövning.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , där ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ är en Fouriertransform av ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Villkoret om nollmedelvärde följer av villkoret om tillåtlighet.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funktionen ψ {\\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ kallas moderwavelet. Dess översatta (förskjutna) och dilaterade (skalade) normaliserade versioner definieras enligt följande.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Den ursprungliga moderwaveletten har parametrarna a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ och b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Translation beskrivs av parametern b {\displaystyle b} $b$ och dilatation av parametern a {\displaystyle a}.

Morlet-våvelett

Frågor och svar

F: Vad är en wavelet?

S: En wavelet är en matematisk funktion som används för att skriva ner en funktion eller signal i termer av andra funktioner som är enklare att studera. Den kan ses under linsen med en förstoring som ges av våglängdens skala, vilket gör att vi endast kan se den information som bestäms av dess form.

F: Vem introducerade termen "wavelet"?

S: Den engelska termen "wavelet" introducerades i början av 1980-talet av de franska fysikerna Jean Morlet och Alex Grossman, som använde det franska ordet "ondelette" (som betyder "liten våg"). Senare fördes detta ord in i engelskan genom att översätta "ondelette" till "våg", vilket ger oss "wavelet".

F: Vad måste en wavelet uppfylla för att kunna användas i praktiska tillämpningar?

S: För praktiska tillämpningar måste en wavelet ha ändlig energi och uppfylla ett villkor för godtagbarhet. Detta villkor innebär att den måste ha ett medelvärde på noll och även uppfylla ett integralvärde över frekvensen som är mindre än oändligt.

F: Vad menas med translation och dilatation när man talar om wavelets?

S: Translation avser förskjutning eller förflyttning av modervågen längs tidsaxeln, medan dilatation avser skalning eller sträckning/krympning av modervågen längs tidsaxeln. Dessa två parametrar (translation och dilatation) beskrivs med b respektive a.

F: Vad innebär det att en wavelet har noll medelvärde?

Svar: Nollmedelvärde innebär att när man integrerar över alla värden på t från negativ oändlighet till positiv oändlighet, ska summan vara lika med 0, dvs. ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Detta krav följer av själva tillåtlighetsvillkoret som nämns ovan.

F: Hur definieras modervåglar?

S: Modervåglar definieras som normaliserade versioner av översatta (förskjutna) och dilaterade (skalade) versioner av ursprungliga modervåglar med parametrarna "a" = 1 och "b" = 0 .