Zermelo-Fraenkel-teori
Zermelo-Fraenkel set theory (förkortat ZF) är ett system av axiom som används för att beskriva set theory. När valaxiomet läggs till ZF kallas systemet ZFC. Det är det axiomsystem som de flesta matematiker använder i mängdteori idag.
Efter att Russells paradox upptäcktes 1901 ville matematikerna hitta ett sätt att beskriva mängdteorin som inte innehöll motsägelser. Ernst Zermelo föreslog en teori om mängdteori 1908. År 1922 föreslog Abraham Fraenkel en ny version baserad på Zermelos arbete.
Axiom
Ett axiom är ett påstående som accepteras utan att ifrågasättas och som inte har något bevis. ZF innehåller åtta axiom.
- Enligt förlängningsaxiomet är två mängder lika om och endast om de har samma element. Till exempel kan mängden { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}
och mängden { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}}
är lika. - Grundläggande axiom säger att varje mängd S {\displaystyle S}
(förutom den tomma mängden) innehåller ett element som är disjunkit (inte delar några medlemmar) med S {\displaystyle S} . - Specifikationsaxiomet säger att givet en uppsättning S {\displaystyle S} och ett predikat F {\displaystyle F}
(en funktion som antingen är sann eller falsk), att det finns en uppsättning som innehåller exakt de element i S {\displaystyle S} där F {\displaystyle F} är sann. Till exempel, om S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} 
och F {\displaystyle F} är "detta är ett jämnt tal", så säger axiomet att mängden { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}}
existerar. - Axiomet om parning säger att det finns en uppsättning vars medlemmar är exakt de två givna uppsättningarna, givet två uppsättningar. Så, givet de två mängderna { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}}
och { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} 
säger detta axiom att mängden { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{{0,3\},\{2,5\}\}}
existerar. - Föreningsaxiomet säger att det för varje mängd finns en mängd som bara består av elementen av elementen i den mängden. Till exempel, med tanke på mängden { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} säger detta axiom att mängden { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}}
existerar. - Ersättningsaxiomet säger att för varje mängd S {\displaystyle S} och en funktion F {\displaystyle F} att det finns en uppsättning som består av resultaten av att kalla F {\displaystyle F} på alla medlemmar i S {\displaystyle S} . Till exempel, om S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} och F {\displaystyle F} är "addera tio till detta tal", så säger axiomet att mängden { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}
existerar. - Oändlighetsaxiomet säger att mängden av alla heltal (enligt Von Neumann-konstruktionen) existerar. Detta är mängden { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
- Axiomet om potensmängden säger att potensmängden (mängden av alla delmängder) av en mängd existerar. Till exempel är potensmängden av { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} är { { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
Valets axiom
Valfrihetsaxiomet säger att det är möjligt att ta ett objekt från varje element i en mängd och skapa en ny mängd. Till exempel, med tanke på mängden { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} skulle valaxiomet visa att en mängd som { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,5\}}
finns. Detta axiom kan bevisas utifrån de andra axiomen för ändliga mängder, men inte för oändliga mängder.
