Inom matematiken är en funktion ett matematiskt objekt som för varje indata tilldelar ett entydigt utdata. Indatan kan vara ett tal, en vektor eller vilket element som helst i en mängd.

Man kan tänka på en funktion som en maskin som tar emot ett värde x och returnerar ett värde y. Mängden av alla tillåtna indata kallas domänen, och mängden som innehåller alla möjliga utdata kallas kodomänen. En funktion betecknas ofta med kursiva bokstäver, t.ex. f, g, {\displaystyle h}.

Om detta sker säger vi att y är en funktion av x och skriver {\displaystyle y=f(x)}. Här är f namnet på funktionen, och man skriver (funktion från X till Y) för att representera funktionens tre delar: domänen (X), kodomänen (Y) och avbildningen (pilen).

Ett enkelt exempel på en funktion är {\displaystyle f(x)=x+1}. Om man t.ex. anger ett naturligt tal x som indata får man ut ett annat naturligt tal y{\displaystyle x+1}. Om man till exempel ger 3 som indata till f får man 4 som utdata.

En funktion behöver inte uttryckas som en enkel ekvation — huvudidén är att varje indata kopplas till exakt ett utdata, även om avbildningen kan vara mycket komplicerad eller byggd av flera steg.

Domän, kodomän och värdemängd

  • Domän: mängden av alla giltiga indata. Exempel: för f(x)=1/x är domänen alla reella tal utom 0.
  • Kodomän (målmängd): den mängd vi säger att funktionen avbildar till—vanligtvis en övergripande mängd som utdata hör till.
  • Värdemängd (bild eller "range"): den faktiska mängd av utdata som funktionen antar. Viktigt: värdemängden är en delmängd av kodomänen och behöver inte vara lika stor som kodomänen. Exempel: för f(x)=x^2 med f: R→R är värdemängden [0, ∞), medan kodomänen R innehåller även negativa tal som inte är bilder av något x.

Formella definitioner och representation

Formellt kan en funktion f från en mängd X till en mängd Y beskrivas som en mängd av ordnade par (x,y) med x∈X och y∈Y där varje x i X förekommer i exakt ett par. Man skriver f: X → Y och för varje x i X finns ett unikt y = f(x) i Y. Detta gör tydligt vad som krävs: entydighet (ett x får inte ge två olika y).

Vanliga egenskaper

  • Injektiv (en-till-en): olika indata ger olika utdata. Formellt: om f(x1)=f(x2) så är x1=x2.
  • Surjektiv (på): värdemängden är hela kodomänen, det vill säga varje element i kodomänen är bild av minst ett element i domänen.
  • Bijektiv: både injektiv och surjektiv. En bijektion har en invers funktion f^{-1} som går åt andra hållet.

Graf, visualisering och test

För reella funktioner f: R→R visualiseras ofta funktionen som en graf i ett koordinatsystem {(x,f(x))}. Ett praktiskt test: den vertikala linjetesten — om en vertikal linje skär grafen i mer än en punkt, så är relationen inte en funktion (eftersom ett x skulle ge flera y).

Sammansättning och invers

Man kan kombinera funktioner genom sammansättning: (f∘g)(x)=f(g(x)). Om f är bijektiv finns en invers f^{-1} med f^{-1}(f(x))=x för alla x i domänen.

Exempel

  • f(x)=x+1 med f: N → N. Här är domänen och kodomänen de naturliga talen, och värdemängden är också N.
  • g(x)=1/x med g: R\{0} → R\{0}. Domänen utesluter 0 eftersom 1/0 inte är definierat.
  • h(x)=x^2 med h: R → R. Domänen är alla reella tal, kodomänen kan anges som R, men värdemängden är [0, ∞).
  • En bitvis funktion, t.ex. f(x)= { x^2 för x≤0, 2x+1 för x>0 }, där regel för indata beror på var x ligger.
  • Funktioner kan också ha vektorer som värden eller argument, t.ex. F: R^2 → R där F(x,y)=x^2+y^2.

Funktioner i mer abstrakta sammanhang

I mer avancerad matematik används funktioner mellan godtyckliga mängder (inte bara tal). Funktioner är centrala i många teorier — från analys och algebra till sannolikhet och topologi — och kan beskrivas algebraiskt, geometriskt eller som algoritmer.

Sammanfattning: En funktion är en regel som tilldelar varje element i en domän ett entydigt element i en kodomän. Viktiga begrepp att skilja på är domän, kodomän och värdemängd, samt egenskaper som injektivitet, surjektivitet och möjligheten att bilda invers eller komponera funktioner.