Elastisk kollision: definition, bevarande av energi och rörelsemängd

Vi betraktar två partiklar som betecknas med beteckningarna 1 och 2. Låt m₁ och m₂ vara massorna, u₁ och u₂ vara hastigheterna före kollisionen och v₁ och v₂ vara hastigheterna efter kollisionen.

Användning av Momentum Conservation för att skriva en formel

Eftersom det är en elastisk kollision är det totala momentet före kollisionen detsamma som det totala momentet efter kollisionen. Med tanke på att rörelsemängd (p) beräknas som

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Vi kan beräkna att rörelsemängden före kollisionen är:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

och rörelsemängden efter kollisionen är:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Genom att sätta de två lika ger vi vår första ekvation:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Användning av energihushållning för att skriva en andra formel

Den andra regeln vi använder är att den totala rörelseenergin förblir densamma, vilket innebär att den ursprungliga rörelseenergin är lika med den slutliga rörelseenergin.

Formeln för kinetisk energi är:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {mv^{2}}}{2}}}}

Vi använder samma variabler som tidigare: Den ursprungliga rörelseenergin är:

m 1 u 1 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}

Den slutliga rörelseenergin är:

m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

De två är lika stora (eftersom den totala rörelseenergin förblir densamma):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

Genom att sätta ihop dessa två ekvationer

Dessa ekvationer kan lösas direkt för att hitta v_i när u_i är känt eller vice versa. Här är ett exempel på ett problem som kan lösas med hjälp av antingen rörelseresultatet eller energiresultatet:

Till exempel:

Boll 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Boll 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Efter kollisionen:

Boll 1: v = -8,5 m/s

Boll 2: v = okänd ( Vi representerar den med v )

Användning av momentumbevarande:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Efter att ha multiplicerat och sedan subtraherat 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} från båda sidorna får vi:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Genom att summera den vänstra sidan och sedan dividera med 5 {\displaystyle 5} får vi:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {\frac {7.5}{5}}}=v} , och den sista divisionen ger oss:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}

Vi kunde också ha löst detta problem med hjälp av energihushållning:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}

Genom att multiplicera båda sidorna med 2 {\displaystyle 2} , och sedan göra alla nödvändiga multiplikationer får vi:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Genom att addera siffrorna till vänster, subtrahera 216,75 {\displaystyle 216,75} från båda sidorna och dividera med 5 {\displaystyle 5} får vi:

  2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Genom att ta kvadratroten av båda sidorna får vi svaret v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1.5} .

Tyvärr måste vi fortfarande använda oss av momentumbevarande för att ta reda på om v {\displaystyle v} är positiv eller negativ.