Gaussisk eliminering (radreduktion): Lös linjära ekvationssystem steg för steg

Lär dig Gaussisk eliminering (radreduktion) steg för steg: förstå radoperationer, rad-echelon och Gauss–Jordan för att lösa linjära ekvationssystem effektivt.

Författare: Leandro Alegsa

04-02-2026 17:53

Inom matematiken är Gaussisk eliminering (även kallad radreduktion) en metod som används för att lösa system av linjära ekvationer. Den är uppkallad efter Carl Friedrich Gauss, en berömd tysk matematiker som skrev om metoden, men inte uppfann den.

För att utföra Gaussisk eliminering används koefficienterna för termerna i systemet av linjära ekvationer för att skapa en typ av matris som kallas förstärkt matris. Därefter används elementära radoperationer för att förenkla matrisen. De tre typerna av radoperationer som används är:

Typ 1: Byte av en rad mot en annan rad.

Typ 2: Multiplicering av en rad med ett tal som inte är noll.

Typ 3: Addera eller subtrahera en rad från en annan rad.

Målet med Gaussisk eliminering är att få matrisen i rad-echelonform. Om en matris är i rad-ekelonform innebär det att varje rad börjar med minst en nollterm mer än raden ovanför den när man läser från vänster till höger. Vissa definitioner av Gaussisk eliminering säger att matrisresultatet måste vara i reducerad rad-echelonform. Det innebär att matrisen är i rad-echelonform och att den enda termen som inte är noll i varje rad är 1. Gaussisk eliminering som skapar ett reducerat rad-echelonmatrisresultat kallas ibland för Gauss-Jordan-eliminering.

Grundläggande begrepp

En förstärkt matris skriver koefficienterna och högerledet i en enkel tabellform. Varje rad motsvarar en ekvation och varje kolumn (utom den sista) motsvarar en variabel. Positionerna där ledande ettor (pivotar) hamnar kallas pivotpositioner. Antalet pivotar ger information om matrisens rang och därmed om systemet har unik lösning, flera lösningar eller ingen lösning.

Steg-för-steg: Gaussisk eliminering (vanligt förfarande)

Bygg först den förstärkta matrisen från ekvationssystemet.
Välj första pivot: hitta en rad där första kolumnen är icke-noll och byt upp den till första raden (Typ 1).
Skalera första raden så att pivoten blir 1 (Typ 2), om så önskas.
Använd pivoten för att eliminera alla icke-nollposter under pivoten i samma kolumn (Typ 3).
Gå till nästa kolumn och upprepa processen för delmatrisen som börjar en rad ned och en kolumn till höger (fortsätt nedåt till rad-echelonform).
När matrisen är i rad-echelonform: använd bakåtsubstitution för att finna variablerna om systemet har en unik lösning. Om du vill få reducerad rad-echelonform fortsätter du med elimination uppåt så att varje pivot är den enda icke-nollposten i sin kolumn (Gauss-Jordan).

Exempel (litet system)

Systemet

 x + 2y -  z =  1 2x -  y + 3z =  4 3x +  y + 2z =  7

ger förstärkt matris

 [ 1  2 -1 | 1 ] [ 2 -1  3 | 4 ] [ 3  1  2 | 7 ]

Stegvis elimination (kort):

Eliminera under första pivot (kolumn 1) med radoperationer: R2 <- R2 - 2·R1, R3 <- R3 - 3·R1.
Skapa pivot i andra kolumnen för den reducerade 2×2-submatrisen, eliminera under den.
Fortsätt tills matrisen är i rad-echelonform, och använd sedan bakåtsubstitution för att lösa för z, y, x.

(För tydlighet kan man efter dessa steg få x=1, y=0, z=2 i detta speciella exempel.)

Särskilda fall: inga lösningar eller oändligt många lösningar

Inget lösning (inkonsistent): Om en rad i den förstärkta matrisen blir [0 0 ... 0 | b] med b ≠ 0 så motsvarar det 0 = b och systemet är inkonsistent.
Oändligt många lösningar: Om systemet är konsistent men antalet pivotar (rang) är mindre än antalet variabler finns fria variabler — då finns oändligt många lösningar som uttrycks med parametrar.
Unik lösning: Om varje variabel har en pivotkolumn (rang = antal variabler) får man en unik lösning.

Rank och linjär oberoende

Rangen för koefficientmatrisen och rangen för den förstärkta matrisen avgör konsistens (R(A) = R(A|b) för konsistenta system). Skillnaden mellan antalet variabler och rangen ger antalet fria variabler.

Numeriska aspekter och pivotstrategier

I numeriska beräkningar är det viktigt att undvika att dividera med mycket små tal (som kan försämra precisionen). Därför används pivotstrategier:

Partiell pivotering: byt aktuell rad med den rad under den som har störst absolutvärde i pivotkolumnen innan elimination — minskar avrundningsfel.
Full pivotering: byt både rader och kolumner för att få störst möjliga pivot — mer stabilt men dyrare att genomföra.

Gaussisk eliminering har i allmänhet tidskomplexitet O(n^3) för ett n×n-system. För stora system eller system med speciell struktur (t.ex. glesa matriser) används optimerade metoder.

Praktiska tips

Skriv tydligt upp den förstärkta matrisen och markera pivotar för att undvika fel.
Använd partiell pivotering i numeriska beräkningar för bättre stabilitet.
Om du får fria variabler: välj parametrar (t.ex. t, s) och uttryck lösningen i parametrisk form.
Kontrollera alltid din slutliga lösning genom att sätta in värdena i ursprungliga ekvationer.

Gaussisk eliminering är en grundläggande och kraftfull metod i linär algebra — både för handräkning på mindre system och som kärnkomponent i numeriska algoritmer för större problem.

Exempel

Antag att målet är att hitta svaren på detta system av linjära ekvationer.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Först måste systemet omvandlas till en förstärkt matris. I en förstärkt matris blir varje linjär ekvation en rad. På ena sidan av den förstärkta matrisen blir koefficienterna för varje term i den linjära ekvationen siffror i matrisen. På andra sidan av den förstärkta matrisen finns de konstanta termerna som varje linjär ekvation är lika med. För detta system är den förstärkta matrisen:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Därefter kan radoperationer göras på den förstärkta matrisen för att förenkla den. I tabellen nedan visas radreduktionsprocessen för ekvationssystemet och den förstärkta matrisen.

System av ekvationer	Radhantering	Förstärkt matris
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1/2&1\\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1/2&1\\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matrisen är nu i rad- och echelonform. Detta kallas också triangulär form.

System av ekvationer	Radhantering	Förstärkt matris
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&0&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 0 7 0 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&0&7\\0&1&0&0&3\0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{1}}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matrisen är nu i reducerad rad-echelonform. När vi läser matrisen får vi veta att lösningarna för detta ekvationssystem uppstår när x = 2, y = 3 och z = -1.

Frågor och svar

F: Vad är gaussisk eliminering?

S: Gaussisk eliminering är en metod som används inom matematiken för att lösa system av linjära ekvationer.

F: Vem är den uppkallad efter?

S: Den är uppkallad efter Carl Friedrich Gauss, en berömd tysk matematiker som skrev om denna metod, men inte uppfann den.

F: Hur utförs gaussisk eliminering?

S: Gaussisk eliminering utförs genom att använda koefficienterna för termerna i systemet av linjära ekvationer för att skapa en förstärkt matris. Därefter används elementära radoperationer för att förenkla matrisen.

F: Vilka är de tre typerna av radoperationer som används vid gaussisk eliminering?

S: De tre typerna av radoperationer som används vid gaussisk eliminering är: Byte av en rad med en annan rad, Multiplikation av en rad med ett tal som inte är noll samt Addering eller subtraktion av en rad från en annan rad.

F: Vad är målet med gaussisk eliminering?

S: Målet med Gaussisk eliminering är att få matrisen i rad-echelon-form.

F: Vad är rad-echelon-form?

S: Om en matris har rad-echelon-form innebär det att varje rad, från vänster till höger, börjar med minst en nollterm mer än raden ovanför.

F: Vad är reducerad rad-echelon-form?

S: Reducerad rad-echelonform innebär att matrisen är i rad-echelonform och att den enda termen som inte är noll i varje rad är 1. Gaussisk eliminering som skapar ett reducerat rad-echelonmatrisresultat kallas ibland Gauss-Jordan-eliminering.

Sök