Gausselimination

Inom matematiken är Gaussisk eliminering (även kallad radreduktion) en metod som används för att lösa system av linjära ekvationer. Den är uppkallad efter Carl Friedrich Gauss, en berömd tysk matematiker som skrev om metoden, men inte uppfann den.

För att utföra Gaussisk eliminering används koefficienterna för termerna i systemet av linjära ekvationer för att skapa en typ av matris som kallas förstärkt matris. Därefter används elementära radoperationer för att förenkla matrisen. De tre typerna av radoperationer som används är:

Typ 1: Byte av en rad mot en annan rad.

Typ 2: Multiplicering av en rad med ett tal som inte är noll.

Typ 3: Addera eller subtrahera en rad från en annan rad.

Målet med Gaussisk eliminering är att få matrisen i rad-echelonform. Om en matris är i rad-ekelonform innebär det att varje rad börjar med minst en nollterm mer än raden ovanför den när man läser från vänster till höger. Vissa definitioner av Gaussisk eliminering säger att matrisresultatet måste vara i reducerad rad-echelonform. Det innebär att matrisen är i rad-echelonform och att den enda termen som inte är noll i varje rad är 1. Gaussisk eliminering som skapar ett reducerat rad-echelonmatrisresultat kallas ibland för Gauss-Jordan-eliminering.

Exempel

Antag att målet är att hitta svaren på detta system av linjära ekvationer.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}}

Först måste systemet omvandlas till en förstärkt matris. I en förstärkt matris blir varje linjär ekvation en rad. På ena sidan av den förstärkta matrisen blir koefficienterna för varje term i den linjära ekvationen siffror i matrisen. På andra sidan av den förstärkta matrisen finns de konstanta termerna som varje linjär ekvation är lika med. För detta system är den förstärkta matrisen:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

Därefter kan radoperationer göras på den förstärkta matrisen för att förenkla den. I tabellen nedan visas radreduktionsprocessen för ekvationssystemet och den förstärkta matrisen.

System av ekvationer

Radhantering

Förstärkt matris

2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}}

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}}

R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}
R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}
{\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}

[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1/2&1\\\0&2&1&5\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}

[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1/2&1\\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

Matrisen är nu i rad- och echelonform. Detta kallas också triangulär form.

System av ekvationer

Radhantering

Förstärkt matris

2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}}
R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}}
{\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}

[ 2 1 0 7 0 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&1&0&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}}
R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}
{\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}

[ 2 1 0 0 7 0 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&0&7\\0&1&0&0&3\0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}} {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}
1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{1}}}
{\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}

[ 1 0 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

Matrisen är nu i reducerad rad-echelonform. När vi läser matrisen får vi veta att lösningarna för detta ekvationssystem uppstår när x = 2, y = 3 och z = -1.

Frågor och svar

F: Vad är gaussisk eliminering?


S: Gaussisk eliminering är en metod som används inom matematiken för att lösa system av linjära ekvationer.

F: Vem är den uppkallad efter?


S: Den är uppkallad efter Carl Friedrich Gauss, en berömd tysk matematiker som skrev om denna metod, men inte uppfann den.

F: Hur utförs gaussisk eliminering?


S: Gaussisk eliminering utförs genom att använda koefficienterna för termerna i systemet av linjära ekvationer för att skapa en förstärkt matris. Därefter används elementära radoperationer för att förenkla matrisen.

F: Vilka är de tre typerna av radoperationer som används vid gaussisk eliminering?


S: De tre typerna av radoperationer som används vid gaussisk eliminering är: Byte av en rad med en annan rad, Multiplikation av en rad med ett tal som inte är noll samt Addering eller subtraktion av en rad från en annan rad.

F: Vad är målet med gaussisk eliminering?


S: Målet med Gaussisk eliminering är att få matrisen i rad-echelon-form.

F: Vad är rad-echelon-form?


S: Om en matris har rad-echelon-form innebär det att varje rad, från vänster till höger, börjar med minst en nollterm mer än raden ovanför.

F: Vad är reducerad rad-echelon-form?


S: Reducerad rad-echelonform innebär att matrisen är i rad-echelonform och att den enda termen som inte är noll i varje rad är 1. Gaussisk eliminering som skapar ett reducerat rad-echelonmatrisresultat kallas ibland Gauss-Jordan-eliminering.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3