Intervall (matematik)

Notation och grundtyper

Intervallets ändpunkter skrivs vanligen som a och b med a <= b. Notationen visar om ändpunkterna ingår eller ej:

• [a,b] — slutet intervall: både a och b ingår.
• (a,b) eller ]a,b[ — öppet intervall: varken a eller b ingår.
• [a,b) och (a,b] — halvöppna (halvlukkade) intervall: en ändpunkt ingår, den andra inte.
• Oändliga intervall används med symbolerna ±∞: till exempel (a,∞), (-∞,b]. ∞ och −∞ är inte reella tal och kan därför aldrig vara inkluderade (alltid parentes).

Egenskaper och särskilda fall

En rad viktiga egenskaper och specialfall är värda att uppmärksamma. Ett intervall där a=b och skrivs [a,a] motsvarar en singleton {a}. Intervallet (a,a) är däremot tomt. Ett intervall är alltid sammanhängande och saknar luckor; därför är varje mått av längden för ett ändligt intervall lika med b−a (i Lebesgue- eller längdmening). Intervall utgör också de grundläggande byggstenarna för topologiska baser på ℝ eftersom öppna intervall genererar den vanliga reella topologin.

Operationer på intervall, som snitt och union, kan ge andra intervall eller föreningar av intervall. Snittet av två intervall är antingen tomt eller ett intervall. Unionen av två överlappande eller gränsande intervall är ett intervall; annars blir resultatet en förening av flera intervall.

Historik och teoretisk bakgrund

Tanken att betrakta kontinuerliga mängder av tal går långt tillbaka i matematiken, men den moderna, rigorösa förståelsen av reella tal och intervall formulerades tydligare under 1800‑talet när konstruktioner som Dedekinds snitt och Cauchys följder gav en grund för begreppet kontinuitet och fullständighet i ℝ. Med dessa verktyg fick man ett stabilt ramverk för analys där intervall spelar en central roll vid gränsvärden, integraler och topologi.

Användningar och exempel

Intervall förekommer i många grenar av matematiken och tillämpningar: i analys anger de domäner för funktioner och integrationsgränser; i olikheter uttrycker de lösmängder; i sannolikhet och statistik representerar de utfallsrum och konfidensintervall; i numeriska metoder och datavetenskap används intervall för att uppskatta fel och för intervalfarmetik (beräkningar med intervall istället för exakta tal).

För vidare läsning om formell definition och samband med reella tal, se mer information. Artiklar och läroböcker i reell analys och elementär algebra ger många konkreta exempel och övningar kring öppna, slutna och oändliga intervall.