Poincarés förmodan
Poincarés gissning är en fråga om sfärer inom matematiken. Den är uppkallad efter Henri Poincaré, den franske matematikern och fysikern som formulerade den 1904.
Sfären (även kallad 2-sfären, eftersom den är en tvådimensionell yta, även om den vanligtvis ses som inne i ett tredimensionellt rum) har egenskapen att varje slinga på den kan dras ihop till en punkt (om ett gummiband lindas runt sfären är det möjligt att glida ner till en punkt). Matematikerna säger att 2-sfären är enkelt ansluten. Andra rum har inte denna egenskap, till exempel donuten: ett gummiband som går runt hela donuten en gång kan inte glida ner till en punkt utan att det lämnar ytan.
Matematikerna visste att denna egenskap var unik för 2-sfären, i den meningen att alla andra enkelt sammanhängande rum som inte har några kanter och är tillräckligt små (i matematiska termer, dvs. kompakta) faktiskt är 2-sfären. Det är dock inte längre sant om vi tar bort idén om litenhet, eftersom ett oändligt stort plan också är enkelt sammanhängande. Även en regelbunden skiva (en cirkel och dess inre) är enkelt sammanlänkad, men den har en kant (den avgränsande cirkeln).
Man frågar sig om samma sak gäller för 3-sfären, som är ett objekt som naturligt lever i fyra dimensioner. Denna fråga motiverade mycket av den moderna matematiken, särskilt inom topologin. Frågan avgjordes slutligen 2002 av Grigori Perelman, en rysk matematiker, med metoder från geometrin, som visade att den verkligen är sann. Han tilldelades en Fieldsmedalj och millenniepriset på 1 miljon dollar för sitt arbete, men han avböjde båda dessa utmärkelser.
Poincarés gissning kan också utvidgas till högre dimensioner: detta är den generaliserade Poincarés gissning. Överraskande nog var det lättare att bevisa detta faktum för sfärer med högre dimensioner: 1960 bevisade Smale att det är sant för 5-sfären, 6-sfären och högre sfärer. År 1982 bevisade Freedman att det även gäller för 4-sfären, vilket han fick Fields Medaljen för.
Frågor och svar
F: Vad är Poincarés gissning?
S: Poincarékonjekturen är en fråga om sfärer inom matematiken, uppkallad efter Henri Poincaré, som handlar om huruvida vissa egenskaper hos 2-sfären också gäller för 3-sfären.
Fråga: Vilken egenskap har 2-sfären?
Svar: 2-sfären har egenskapen att varje slinga på den kan dras ihop till en punkt.
Fråga: Är denna egenskap unik för 2-sfären?
S: Denna egenskap är unik för 2-sfären när det gäller små rum som inte har några kanter. Ett oändligt stort plan och en regelbunden skiva (en cirkel och dess inre) är dock båda enkelt sammanlänkade, men de har kanter.
Fråga: Vem bevisade att det är sant för högre dimensionella sfärer?
Svar: 1960 bevisade Smale att det är sant för 5-sfärer, 6-sfärer och högre sfärer, och 1982 bevisade Freedman att det också är sant för 4-dimensionella sfärer.
F: Vem löste Poincarés gissning?
Svar: Poincarés gissning löstes av Grigori Perelman, en rysk matematiker som använde geometriska metoder för att visa att den verkligen är sann.
F: Vilka utmärkelser fick Perelman för sitt arbete?
Svar: Perelman fick en Fields medalj och ett millenniepris på 1 miljon dollar för sitt arbete med att lösa Poincarés gissning, men han avböjde båda priserna.
