√2 (kvadratroten av 2): definition, egenskaper och geometri

Upptäck √2: definition, egenskaper, geometrisk tolkning och bevis — från irrationellt tal till diagonalen i en enhetskvadrat. Klara förklaringar och exempel.

Författare: Leandro Alegsa

24-10-2025 21:14

Kvadratroten av 2, eller den (1/2):e potensen av 2, som i matematiken skrivs √2 eller $2 $ ^1⁄₂, är det positiva irrationella talet som, när det multipliceras med sig självt, är lika med talet 2. För att vara mer korrekt kallas det för den huvudsakliga kvadratroten av 2, för att skilja det från den negativa versionen av sig själv där det också är sant (dvs. både √2 och −√2 uppfyller x^2 = 2).

Geometriskt sett är kvadratroten av 2 längden på en diagonal över en kvadrat med sidor med längden 1. Detta kan hittas med hjälp av Pythagoras sats: i en enhetskvadrat är diagonalens längd √(1^2 + 1^2) = √2.

Exakta och algebraiska egenskaper

Talets minimalpolynom över de rationella talen är x^2 − 2 = 0. Därför är √2 ett algebraiskt tal av grad 2 (en reell kvadratrot). Dess Galois‑konjugat är −√2, och det utgör ett baselement i den kvadratiska talfältet Q(√2). Kroppen av rationella tal utvidgad med √2, Q(√2), innehåller alla tal a + b√2 med rationella a och b. Ringens heltalsdel i detta fält är Z[√2].

Decimalutveckling och approximationer

Decimalutvecklingen för √2 börjar 1,4142135623730950488... och fortsätter utan periodisk upprepning (eftersom talet är irrationellt). Vanliga rationella approximationer som ofta används är 1,41, 1,414 och 1,41421. Mer precisa approximationer fås från fortsatta bråkutvecklingar (konvergenter): 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 … Dessa kommer från den enkla kontinuerliga bråkutvecklingen för √2, som är [1; 2, 2, 2, ...], dvs alla partiella kvoter efter den första är 2.

Bevis för irrationell natur

Det klassiska beviset genom contradiction är kort och tydligt: anta att √2 = p/q där p och q är heltal utan gemensam primfaktor. Då p^2 = 2q^2, så är p^2 jämnt och därmed är p jämnt. Skriv p = 2k. Då får (2k)^2 = 4k^2 = 2q^2 ⇒ q^2 = 2k^2, vilket visar att även q är jämnt. Detta står i direkt motsats till antagandet att p och q var relativt prima. Alltså kan √2 inte skrivas som ett rationellt tal, dvs det är irrationellt.

Fortsatta egenskaper och samband

Fortlöpande bråk: √2 = [1; 2, 2, 2, …] ger mycket bra rationella approximationer via konvergenterna och är nära relaterat till lösningar av Pell‑ekvationen x^2 − 2y^2 = ±1.
Trigonometriska samband: cos 45° = sin 45° = √2/2, vilket gör √2 vanligt inom geometri och trigonometriska beräkningar.
Användning i konstruktioner: √2 uppstår naturligt i geometriska konstruktioner (t.ex. diagonal i en enhetskvadrat) och i dimensioner för pappersformat (A‑serien har förhållandet mellan sidorna √2 så att när ett ark halveras bevaras samma form).

Historik och betydelse

Upptäckten att diagonalens längd i en kvadrat inte kunde uttryckas som ett förhållande mellan heltal var en viktig historisk insikt i antikens grekiska matematik och ledde till förståelsen av incommensurabla storheter. Att √2 är irrationellt tillskrivs ofta Pythagoreerna eller deras efterföljare. Idag är √2 ett grundläggande exempel i analys, talteori och algebraiska tal, och det är ofta det första icke‑rationella talet studenter möter.

Snabba fakta (sammanfattning)

Symbol: √2
Exakt egenskap: positiv lösning till x^2 = 2
Typ: irrationellt, algebraiskt av grad 2
Decimal: ≈ 1,4142135623730950…
Kontinuerligt bråk: [1; 2, 2, 2, …]
Geometrisk tolkning: diagonal i en kvadrat med sida 1

Kvadratroten av 2 är lika med längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med benen av längden 1.

Bevis för att kvadratroten av 2 inte är rationell

Talet 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ är inte rationellt. Här är beviset.

Anta att 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ är rationell. Det finns alltså några tal a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ så att a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Vi kan välja a och b så att antingen a eller b är udda. Om a och b båda är jämna kan bråket förenklas (till exempel, istället för att skriva 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}} ${\frac {2}{4}}$ kan vi istället skriva 1 2 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{2}}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Om båda sidorna av ekvationen kvadreras får vi a² / b² = 2 och a² = 2 b² .
Den högra sidan är 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Detta tal är jämnt. Så den vänstra sidan måste också vara jämn. Så a 2 {\displaystyle a^{2}}} $a^{2}$ är jämnt. Om ett udda tal kvadreras blir resultatet ett udda tal. Och om ett jämnt tal kvadreras blir resultatet också ett jämnt tal. Så ett {\displaystyle a} är jämnt.
Eftersom a är jämnt kan det skrivas som: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Ekvationen från steg 3 används. Vi får 2b² = (2k)²
En exponentieringsregel kan användas (se artikeln) - resultatet blir 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Båda sidorna divideras med 2. Så b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Detta innebär att b {\displaystyle b} $b$ är jämnt.
I steg 2 sa vi att a är udda eller b är udda. Men i steg 4 sa vi att a är jämn, och i steg 7 sa vi att b är jämn. Om antagandet vi gjorde i steg 1 är sant måste alla dessa andra saker vara sanna, men eftersom de inte är överens med varandra kan de inte alla vara sanna; det betyder att vårt antagande inte är sant.

Det är inte sant att 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ är ett rationellt tal. Så 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ är irrationellt.

Sök