Kvadratrot av 2

Kvadratroten av 2, eller den (1/2)e potensen av 2, som i matematiken skrivs √2 eller 2​1⁄2 , är det positiva irrationella talet som, när det multipliceras med sig självt, är lika med talet 2. För att vara mer korrekt kallas det för den huvudsakliga kvadratroten av 2, för att skilja det från den negativa versionen av sig själv där det också är sant.

Geometriskt sett är kvadratroten av 2 längden på en diagonal över en kvadrat med sidor med längden 1. Detta kan hittas med hjälp av Pythagoras sats.

Kvadratroten av 2 är lika med längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med benen av längden 1.Zoom
Kvadratroten av 2 är lika med längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med benen av längden 1.

Bevis för att kvadratroten av 2 inte är rationell

Talet 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} är inte rationellt. Här är beviset.

  1. Anta att 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} är rationell. Det finns alltså några tal a , b {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} så att a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}{\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
  2. Vi kan välja a och b så att antingen a eller b är udda. Om a och b båda är jämna kan bråket förenklas (till exempel, istället för att skriva 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}} {\displaystyle {\frac {2}{4}}}kan vi istället skriva 1 2 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{2}}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ).
  3. Om båda sidorna av ekvationen kvadreras får vi a2 / b2 = 2 och a2 = 2 b2 .
  4. Den högra sidan är 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Detta tal är jämnt. Så den vänstra sidan måste också vara jämn. Så a 2 {\displaystyle a^{2}}}{\displaystyle a^{2}} är jämnt. Om ett udda tal kvadreras blir resultatet ett udda tal. Och om ett jämnt tal kvadreras blir resultatet också ett jämnt tal. Så ett {\displaystyle a}a är jämnt.
  5. Eftersom a är jämnt kan det skrivas som: a = 2 k {\displaystyle a=2k}{\displaystyle a=2k} .
  6. Ekvationen från steg 3 används. Vi får 2b2 = (2k)2
  7. En exponentieringsregel kan användas (se artikeln) - resultatet blir 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Båda sidorna divideras med 2. Så b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Detta innebär att b {\displaystyle b}{\displaystyle b} är jämnt.
  9. I steg 2 sa vi att a är udda eller b är udda. Men i steg 4 sa vi att a är jämn, och i steg 7 sa vi att b är jämn. Om antagandet vi gjorde i steg 1 är sant måste alla dessa andra saker vara sanna, men eftersom de inte är överens med varandra kan de inte alla vara sanna; det betyder att vårt antagande inte är sant.

Det är inte sant att 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} är ett rationellt tal. Så 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} är irrationellt.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3