Pythagoras sats – definition, bevis och exempel på rätvinkliga trianglar

Pythagoras sats säger att arean av en kvadrat på hypotenusan är lika med summan av areorna av kvadraterna på benen. I den här bilden ger den blå kvadratens area tillsammans med den röda kvadrats area den lila kvadrats area. Den har fått sitt namn efter den grekiske matematikern Pythagoras:

Om benens längd är a och b och hypotenusens längd är c, så är a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Det finns många olika bevis för denna sats. De kan delas in i fyra kategorier:

1. De som bygger på linjära relationer: algebraiska bevis.
2. De som bygger på jämförelse av områden: de geometriska bevisen.
3. De som bygger på vektoroperation.
4. De som bygger på massa och hastighet: de dynamiska bevisen.

Ett bevis för Pythagoras sats hittades av den grekiske matematikern Eudoxus av Cnidus.

Beviset bygger på tre lemman:

1. Trianglar med samma bas och höjd har samma area.
2. En triangel som har samma bas och höjd som en sida av en kvadrat har samma area som en halv kvadrat.
3. Trianglar med två kongruenta sidor och en kongruent vinkel är kongruenta och har samma area.

Beviset är:

1. Den blå triangeln har samma area som den gröna triangeln, eftersom den har samma bas och höjd (lemma 1).
2. Gröna och röda trianglar har båda två sidor som är lika med sidorna i samma kvadrater och en vinkel som är lika med en rak vinkel (en vinkel på 90 grader) plus en vinkel i en triangel, så de är kongruenta och har samma area (lemma 3).
3. De röda och gula trianglarnas areor är lika stora eftersom de har samma höjd och bas (lemma 1).
4. Den blå triangelns area är lika med den gula triangelns area, eftersom

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {\blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. De bruna trianglarna har samma area av samma skäl.
2. Blått och brunt har vardera hälften av arean av en mindre kvadrat. Summan av deras areor är lika med halva arean av den större kvadraten. På grund av detta är halva arean av små kvadrater lika med halva arean av den större kvadraten, så deras area är lika med arean av den större kvadraten.

Bevis med hjälp av liknande trianglar

Vi kan få ett annat bevis för Pythagoras sats genom att använda liknande trianglar.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad {a^{2}}}={dc}\quad (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {e}{b}}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad {b^{2}}}={ec}\quad (2)}

Lägg till ekvationerna (1) och (2) från bilden:

Och vi får:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}
 

Pythagoras tripletter eller tripletter är tre hela tal som passar in i ekvationen a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Triangeln med sidorna 3, 4 och 5 är ett välkänt exempel. Om a=3 och b=4, så är 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} eftersom 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Detta kan också visas som 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

Triangeln tre-fyra-fem fungerar för alla multiplar av 3, 4 och 5. Med andra ord är tal som 6, 8, 10 eller 30, 40 och 50 också Pythagoras tripplar. Ett annat exempel på en trippel är triangeln 12-5-13, eftersom 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}}=13} .

En pythagorisk trippel som inte är en multipel av andra tripplar kallas en primitiv pythagorisk trippel. Varje primitiv pythagorisk trippel kan hittas med hjälp av uttrycket ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , men följande villkor måste vara uppfyllda. De sätter begränsningar på värdena för m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} är positiva hela tal.
2. m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} har inga gemensamma faktorer utom 1.
3. m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} har motsatt paritet. m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} har motsatt paritet när m {\displaystyle m} är jämn och n {\displaystyle n} är udda, eller m {\displaystyle m} är udda och n {\displaystyle n} är jämn.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Om alla fyra villkoren är uppfyllda skapar värdena för m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} en primitiv pythagoreisk trippel.

m = 2 {\displaystyle m=2} och n = 1 {\displaystyle n=1} skapar en primitiv pythagoreisk trippel. Värdena uppfyller alla fyra villkoren. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} och m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , så trippeln ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} är skapad.