Bayes' teorem: principer, tolkning och tillämpningar

Den ekvation som används är:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Var:

• P(A) är den tidigare sannolikheten eller marginella sannolikheten för A. Den är "tidigare" i den meningen att den inte tar hänsyn till någon information om B.
• P(A|B) är den betingade sannolikheten för A, givet B. Den kallas också för efterföljande sannolikhet eftersom den härleds från (eller beror på) det angivna värdet för B.
• P(B|A) är den betingade sannolikheten för B givet A. Den kallas också sannolikhet.
• P(B) är den tidigare eller marginella sannolikheten för B och fungerar som en normaliserande konstant.

I många scenarier beräknas P(B) indirekt med hjälp av formeln P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A c ) P ( A c ) {\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})} , vilket helt enkelt innebär att sannolikheten för B är summan av de villkorliga sannolikheterna beroende på om A har inträffat eller inte.

Ett enkelt exempel är följande: Det finns en 40-procentig risk för regn på söndag. Om det regnar på söndag finns det 10 % chans att det regnar på måndag. Om det inte regnar på söndag finns det en 80-procentig chans att det kommer att regna på måndag.

"Det regnar på söndag" är händelse A, och "det regnar på måndag" är händelse B.

• P( A ) = 0,40 = Sannolikheten för regn på söndag.
• P( A` ) = 0,60 = Sannolikheten att det inte regnar på söndag.
• P( B | A ) = 0,10 = Sannolikheten för regn på måndag om det regnade på söndag.
• P( B` | A ) = 0,90 = Sannolikheten att det inte regnar på måndag om det regnade på söndag.
• P( B | A` ) = 0,80 = Sannolikheten för regn på måndag om det inte regnade på söndag.
• P( B` |A` ) = 0,20 = Sannolikheten att det inte regnar på måndag om det inte regnade på söndag.

Det första vi normalt skulle beräkna är sannolikheten för att det ska regna på måndag: Detta skulle vara summan av sannolikheten för "Regn på söndag och regn på måndag" och "Inget regn på söndag och regn på måndag":

0.40 × 0.10 + 0.60 × 0.80 = 0.52 = 52 % {\displaystyle 0.40\times 0.10+0.60\times 0.80=0.52=52\%} chance

Men om vi ombads att beräkna sannolikheten för att det regnade på söndag, med tanke på att det regnade på måndag, så är det här Bayes' teorem kommer in i bilden. Den gör det möjligt för oss att beräkna sannolikheten för en tidigare händelse, med tanke på resultatet av en senare händelse.

Den ekvation som används är:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

I vårt fall är "Regn på söndag" händelse A och "Regn på måndag" händelse B.

• P(B|A) = 0,10 = Sannolikheten för regn på måndag om det regnade på söndag.
• P(A) = 0,40 = Sannolikhet för regn på söndag.
• P(B) = 0,52 = Sannolikhet för regn på måndag.

För att beräkna sannolikheten för att det regnade på söndag, givet att det regnade på måndag, använder vi formeln:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

eller:

P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = .0769 {\displaystyle P(A|B)={\frac {0.10*0.40}{0.52}}=.0769}

Med andra ord, om det regnade i måndags finns det 7,69 % chans att det regnade i söndags.

För att beräkna sannolikheten för att det regnade på söndagen, givet att det regnade på måndagen, kan vi ta följande steg:

• Vi vet att det regnade i måndags. Därför är den totala sannolikheten P(B).
• Sannolikheten för att det regnade i söndags är P(A).
• Sannolikheten för att det regnade i måndags, givet att det regnade i söndags, är P(B|A).
• Sannolikheten för att det regnar på söndag och måndag är P(A)*P(B|A).
• Därför är den totala sannolikheten för att det har regnat på söndag, givet att det regnade på måndag, sannolikheten för att det regnade på söndag och måndag dividerad med den totala sannolikheten för att det regnade på måndag.

Därför,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Ett annat sätt att se detta, som visar var Bayes' teorem kommer ifrån, är att betrakta sannolikheten P(AB) för att det regnar både på söndag och måndag. Detta kan beräknas på två olika sätt, som ger samma svar för P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

I detta avseende är Bayes' teorem bara ett annat sätt att skriva ekvationen.

• Bayesiansk sannolikhet
• Bayesianskt nätverk