Young-Laplace-ekvationen – kapillärtryck, ytspänning och Laplaces lag

Upptäck Young‑Laplace‑ekvationen: kapillärtryck, ytspänning och Laplaces lag för vätskegränssnitt och biologiska organ — teori, tillämpningar och matematik.

Inom fysiken är Young-Laplaceekvationen (/ləˈplɑːs/) en icke-linjär partiell differentialekvation som beskriver den kapillära tryckskillnaden över gränssnittet mellan två statiska vätskor, t.ex. vatten och luft. Denna skillnad beror på fenomenet ytspänning eller väggspänning. Väggspänning kan endast användas för mycket tunna väggar. Young-Laplace-ekvationen relaterar tryckskillnaden till ytans eller väggens form. Den är mycket viktig vid studier av statiska kapillära ytor.

Inom fysiologin är den känd som Laplaces lag. Den används för att beskriva trycket i ihåliga organ.

Ekvationen är uppkallad efter Thomas Young, som utvecklade den kvalitativa teorin om ytspänning 1805, och Pierre-Simon Laplace som fullbordade den matematiska beskrivningen året därpå. Den kallas ibland även Young-Laplace-Gauss-ekvationen: Carl Friedrich Gauss förenade Young och Laplaces arbete 1830. Gauss härledde både differentialekvationen och randvillkoren med hjälp av Johann Bernoullis principer för virtuellt arbete.

Formel och tolkning

Den vanligaste formen av Young–Laplace-ekvationen skrivs som

Δp = γ (1/R1 + 1/R2)

där Δp = p_in – p_out är tryckskillnaden över gränsytan (inre minus yttre), γ är ytspänningen och R1 och R2 är de två huvudradierna av krökningen i ytan. Summan (1/R1 + 1/R2) är ytors medelkrökning (två gånger medelkrökningen beroende på definitionskonvention).

För några vanliga geometrier får man enkla uttryck:

• Sfärisk droppe eller bubbla: Δp = 2γ / R (eftersom 1/R1 + 1/R2 = 2/R)
• Cylindrisk yta (t.ex. en tunn cylinder eller tråd): Δp = γ / R

Derivationsidé (kort)

Young–Laplace kan härledas genom kraftjämvikt eller variationsprincip (virtuellt arbete). Betrakta en liten yta med area dA: tryckskillnaden ger en nettokraft Δp dA normal mot ytan. Ytspänningen ger längdkrafter längs randkurvan; när man summerar dessa krafter för en liten yta leder balansvillkoret mellan normalkraft och de sammansatta tangentiella krafterna till Δp = γ κ, där κ är ytors totalkrökning.

Randvillkor och konventioner

Signalkonvention: Δp anges ofta som trycket på den konvexa sidan minus den konkava sidan; välj enhetsnormal riktning och var konsekvent. Observera också att vissa författare definierar medelkrökningen som (1/2)(1/R1 + 1/R2) — det ger då Δp = 2γ H där H är medelkrökningen enligt den definitionen.

Tillämpningar

Young–Laplace-ekvationen används i många områden:

• Kapillärfenomen: meniskens form i ett rör och kapillärstigning bestäms av balansen mellan ytspänning och gravitation.
• Bubblor och droppar: tryckskillnaden inuti små droppar eller bubblor förklarar varför små bubblor har högre inre tryck och därför löser sig snabbare (Ostwald-ripening).
• Ytaktiva ämnen och surfaktanter: ändrar γ och därmed kapillärtrycket — viktigt i tvålskum, lungornas surfaktant och emulsioner.
• Fysiologi (Laplaces lag): beskriver samband mellan tryck, radie och väggspänning i blodkärl, hjärtsäckar och lungalveoler. En enkel form för tunna väggar är
  • cylindrisk kärl (tunn vägg): väggspänningen per längdenhet T ≈ p·r
  • sfärisk struktur (tunn vägg): T ≈ p·r/2
  Vid beräkning av verklig väggspänning måste man också dela med väggtjockleken t för att få spänningen i materialet (t.ex. hoop-spänning σ = p·r / t för cylinder, σ = p·r / (2t) för sfär).
• Microfluidics, tryck i porösa material, beläggningar och tryckbestämning i småkanaler.

Antaganden och begränsningar

Young–Laplace gäller under vissa förenklingar:

• Ytorna är i mekanisk jämvikt (statisk eller kvasi-stationär).
• Ytspänningen γ antas lokal och isotrop; om det finns ytmolekylära spänningsgradienter (Marangoni-effekter) förändras balansen.
• Surfactanter, temperaturgradienter och kemisk aktivitet kan göra γ varierande och komplicera bilden.
• Gravitation påverkar trycket i stora ytor: i närvaro av vikt måste hydrostatisk tryckfördelning läggas till (p(r) = p0 + ρ g h).
• För mycket tunna skal eller membran används ofta begreppet väggspänning eller membranspänning i stället för ytspänning, men Young–Laplace-formen är fortfarande vägledande.

Praktiska kommentarer

För små system (mikrometer-millimeter) dominerar kapillärkrafter över gravitation; därför är Young–Laplace särskilt viktig i mikroskaliga tillämpningar. I praktiken mäts ytspänning experimentellt (t.ex. droppeprofilmetoder) och används tillsammans med Young–Laplace för att bestämma kontaktvinkel och flytningsegenskaper.

Sammanfattningsvis ger Young–Laplace-ekvationen ett enkelt men kraftfullt samband mellan ytors geometri och tryckskillnader. Den är central i kapillärfysik, materialvetenskap, kemi, biologi och teknik.

Frågor och svar

Fråga: Vad är Young-Laplace-ekvationen?

F: Vad har den att göra med?

F: Vem utvecklade denna teori?

F: Hur används den inom fysiologin?

F: Vilket fenomen förklarar den?

Sök med bokstav