0.999...
0,999... (även skrivet som 0,9 och läst som "0,9 som upprepar") är ett av de sätt som talet 1 (ett) kan skrivas på. Även om det skrivs så här, oavsett hur många nior det finns före ellipsen, är det fortfarande lika mycket värt som 1.
Om
0,999... är en upprepad decimal, vilket innebär att siffran "9" upprepas i all evighet. Det skiljer sig från 0,999, som bara har tre 9:or.
0.999... kan också skrivas som 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}} 
, 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}}}
eller 0. ( 9 ) {\displaystyle 0.(9)\,}
.
Många människor har svårt att förstå varför 0,999... är samma som 1. Det finns många bevis som visar varför de är samma tal, men många av dessa bevis är mycket komplicerade.
Exempel
Ett enkelt sätt att visa att 0,999... och 1 är samma sak är att dividera dem båda med talet 3. När 0,999... divideras med 3 blir svaret 0,333..., vilket är detsamma som1 ⁄ (3bråkdelen en tredjedel).
0.999 ... 3 = 0.333 ... = 1 3 {\displaystyle {0.999\ldots \over 3}=0.333\ldots ={\frac {1}{3}}}} 
När 1 divideras med 3 blir svaret1 ⁄3 . Eftersom svaren är desamma betyder det att 0,999... och 1 är desamma. Ett annat sätt att tänka är att om1 ⁄3 = 0,333... och2 ⁄3 = 0,666..., så är3 ⁄3 = 0,999... Eftersom3 ⁄3 = 1 måste därför 0,999... också vara lika med 1. Det finns många andra sätt att visa detta.
Ett annat sätt att bevisa att 0,999... = 1 är att acceptera det enkla faktum att om två tal är olika måste det finnas minst ett tal mellan dem. Ett tal mellan 1 och 2 är till exempel 1,5 och ett tal mellan 0,9 och 1 är 0,95. Eftersom 0,999... har ett oändligt antal 9:or kan det inte finnas ett annat tal efter den "sista" 9:an, vilket innebär att det inte finns något tal mellan 0,999... och 1. Därför är de lika.
Ett annat vanligt bevis är följande:
x = 0,999... {\displaystyle x=0,999... } 
10 x = 9,999... {\displaystyle 10x=9,999... } 
10 x - 1 x = 9 x {\displaystyle 10x-1x=9x} 
9 x = 9.999... - 0.999... = 9 {\displaystyle 9x=9.999...-0.999...=9} 
x = 1 {\displaystyle x=1} 
0.999... = 1 {\displaystyle 0.999...=1} 
I populärkultur
I takt med att Internet utvecklades finns det ofta diskussioner om 0,999... på nyhetsgrupper och anslagstavlor. Även nyhetsgrupper och anslagstavlor som inte har så mycket med matematik att göra diskuterar detta. I nyhetsgruppen sci.math är diskussioner om 0,999... en "populär sport". Det är också en av frågorna i dess FAQ.
