Kombinerad gaslag | formel om ideala gaser

Boyles lag säger att tryck-volymprodukten är konstant:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charles lag visar att volymen är proportionell mot den absoluta temperaturen:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacs lag säger att trycket är proportionellt mot den absoluta temperaturen:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

där P är trycket, V volymen och T den absoluta temperaturen för en idealisk gas.

Genom att kombinera (1) och antingen (2) eller (3) kan vi få en ny ekvation med P, V och T. Om vi dividerar ekvation (1) med temperaturen och multiplicerar ekvation (2) med trycket får vi:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}=k_{2}(P)P} .

Eftersom vänstersidan i båda ekvationerna är densamma, får vi följande resultat

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P}} ,

vilket innebär att

P V T = konstant {\displaystyle {\frac {PV}{T}}}={\textrm {konstant}}} .

Genom att ersätta Avogadros lag får man den ideala gasekvationen.

En härledning av den kombinerade gaslagen med hjälp av endast elementär algebra kan innehålla överraskningar. Om man till exempel utgår från de tre empiriska lagarna

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}           (1) Gay-Lussacs lag, volymen antas vara konstant.

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2) Charles' lag, trycket antas vara konstant.

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}           (3) Boyles lag, temperaturen antas vara konstant.

där k_V , k_P och k_T är konstanter, kan man multiplicera de tre med varandra för att få fram

P V P V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Att ta kvadratroten av båda sidorna och dividera med T verkar ge det önskade resultatet.

P V T = k P k k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!}

Men om man innan man tillämpar ovanstående förfarande bara ordnar om termerna i Boyles lag, k_T = PV, så får man efter att ha upphävt och ordnat om följande

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!}

vilket inte är till någon större hjälp, om inte till och med är vilseledande.

En fysikalisk härledning, som är längre men mer tillförlitlig, börjar med att inse att den konstanta volymparametern i Gay-Lussacs lag kommer att förändras när systemets volym förändras. Vid konstant volym V₁ kan lagen se ut som P = k₁ T, medan den vid konstant volym V₂ kan se ut som P = k₂ T. Denna "variabla konstanta volym" betecknas med k_V (V), och lagen skrivs om som följande

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}           (4)

Samma resonemang gäller för konstanten i Charles lag, som kan skrivas om.

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}           (5)

När man försöker hitta k_V (V) bör man inte utan tanke utesluta T mellan (4) och (5), eftersom P är varierande i det första fallet medan det antas vara konstant i det senare. Snarare bör man först fastställa i vilken mening dessa ekvationer är kompatibla med varandra. För att få en inblick i detta kan man erinra sig att två variabler bestämmer den tredje. Genom att välja P och V som oberoende kan vi föreställa oss att T-värdena bildar en yta ovanför PV-planet. En bestämd V₀ och P₀ definierar en T₀ , en punkt på denna yta. Genom att ersätta dessa värden i (4) och (5) och omorganisera får man följande resultat

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) och T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}}

Eftersom de båda uttrycken beskriver vad som händer i samma punkt på ytan kan de två numeriska uttrycken likställas och omorganiseras.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}\,\!}           (6)

Observera att

1/k_V (V₀ ) och 1/k_P (P₀ ) är lutningarna på ortogonala linjer som är parallella med P-axeln/V-axeln och går genom den punkt på ytan som ligger ovanför PV-planet. Förhållandet mellan lutningarna på dessa två linjer beror endast på värdet av P₀ /V₀ i den punkten.

Observera att den funktionella formen i (6) inte beror på vilken punkt som valts. Samma formel skulle ha uppstått för vilken annan kombination av P- och V-värden som helst. Därför kan man skriva

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\quad \forall P,\forall V} (7)

Detta innebär att varje punkt på ytan har ett eget par ortogonala linjer som går genom den och vars lutningsförhållande endast beror på den punkten. Medan (6) är ett förhållande mellan specifika lutningar och variabla värden, är (7) ett förhållande mellan lutningsfunktioner och funktionsvariabler. Det gäller för varje punkt på ytan, dvs. för alla kombinationer av P- och V-värden. För att lösa denna ekvation för funktionen k_V (V) ska man först separera variablerna, V till vänster och P till höger.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Välj vilket tryck som helst P₁ . Den högra sidan utvärderas till ett godtyckligt värde, kalla det k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!}           (8)

Denna speciella ekvation måste nu vara sann, inte bara för ett värde av V, utan för alla värden av V. Den enda definition av k_V (V) som garanterar detta för alla V och godtyckliga k_arb är

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}} (9)

vilket kan verifieras genom att ersätta (8).

Genom att ersätta (9) med Gay-Lussacs lag (4) och omorganisera får man slutligen fram den kombinerade gaslagen

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Observera att även om Boyles lag inte användes i denna beräkning kan den lätt härledas från resultatet. I allmänhet räcker det med två av de tre utgångslagarna i denna typ av härledning - alla utgångspar leder till samma kombinerade gaslag.

Den kombinerade gaslagen kan användas för att förklara mekaniken där tryck, temperatur och volym påverkas. Till exempel: luftkonditioneringar, kylskåp och molnbildning samt användning inom strömningsmekanik och termodynamik.

• Daltons lag