Kongruens

Inom geometrin är två figurer eller föremål kongruenta om de har samma form och storlek. Även om den ena har samma form och storlek som spegelbilden av den andra.

Mer formellt sett kallas två punktuppsättningar kongruenta om, och endast om, den ena kan omvandlas till den andra genom isometri. För isometri används stela rörelser.

Detta innebär att ett objekt kan flyttas och reflekteras (men inte ändras i storlek) så att det sammanfaller exakt med det andra objektet. Två olika plana figurer på ett papper är alltså kongruenta om vi kan klippa ut dem och sedan matcha dem helt och hållet. Det är tillåtet att vända på pappret.

Kongruenta polygoner är polygoner som om du viker en regelbunden polygon på mitten är en kongruent polygon.

Två geometriska former är kongruenta om den ena kan flyttas eller roteras så att den passar exakt där den andra är. Om ett av föremålen måste ändra sin storlek är de två föremålen inte kongruenta: de kallas då bara likadana.

Om två figurer eller föremål är kongruenta har de samma form och storlek, men de kan vridas, flyttas, speglas (reflekteras) eller översättas så att den ena figuren eller föremålet passar exakt där den andra figuren eller föremålet är.

Ett exempel på kongruens. De två trianglarna till vänster är kongruenta, medan den tredje är likadan. Den sista triangeln är varken likartad eller kongruent med någon av de andra. Observera att kongruens tillåter ändring av vissa egenskaper, t.ex. läge och orientering, men lämnar andra oförändrade, t.ex. avstånd och vinklar. De oförändrade egenskaperna kallas invarianter.Zoom
Ett exempel på kongruens. De två trianglarna till vänster är kongruenta, medan den tredje är likadan. Den sista triangeln är varken likartad eller kongruent med någon av de andra. Observera att kongruens tillåter ändring av vissa egenskaper, t.ex. läge och orientering, men lämnar andra oförändrade, t.ex. avstånd och vinklar. De oförändrade egenskaperna kallas invarianter.

Exempel

  • Alla kvadrater som har lika långa sidor är kongruenta.
  • Alla liksidiga trianglar som har lika långa sidor är kongruenta.

Test för kongruens

  • Två vinklar och sidan mellan dem är lika i två trianglar (ASA-kongruens).
  • Två vinklar och en sida som inte ligger mellan dem är lika i båda trianglarna (AAS-kongruens).
  • Alla tre sidorna i båda trianglarna är lika långa (SSS-kongruens).
  • två sidor och vinkeln mellan dem gör 2 trianglar kongruenta (SAS kongruens)

Hur kan vi få fram nya kongruenta former?

Vi har en hel del möjligheter, några regler för att skapa nya former som är kongruenta med den ursprungliga formen.

  • Om vi förskjuter en geometrisk form i planet får vi en form som är kongruent med den ursprungliga formen.
  • Om vi roterar i stället för att förskjuta får vi också en form som är kongruent med den ursprungliga formen.
  • Även om vi tar en spegelbild av den ursprungliga formen får vi fortfarande en kongruent form.
  • Om vi kombinerar de tre aktiviteterna efter varandra får vi fortfarande kongruenta former.
  • Det finns inga fler kongruenta former. Mer exakt betyder det att om en form är kongruent med den ursprungliga formen kan den nås genom de tre aktiviteter som beskrivs ovan.

Förhållandet att en form är kongruent med en annan form har tre kända egenskaper.

  • Om vi låter den ursprungliga formen stå kvar på sin ursprungliga plats är den kongruent med sig själv. Detta beteende, denna egenskap kallas reflexivitet.

Till exempel om skiftet ovan inte är ett riktigt skift utan bara ett skift som gör en rörelse av längd noll. Eller, på samma sätt, om rotationen ovan inte är en riktig rotation, utan endast en rotation med vinkel noll.

  • Om en form är kongruent med en annan form, är den andra formen också kongruent med den ursprungliga. Detta beteende, denna egenskap kallas symmetri.

Om vi till exempel flyttar tillbaka, roterar tillbaka eller speglar tillbaka den nya formen till den ursprungliga formen, är den ursprungliga formen kongruent med den nya.

  • Om en form C är kongruent med en form B och formen B är kongruent med den ursprungliga formen A, är formen C också kongruent med den ursprungliga formen A. Detta beteende, denna egenskap kallas transitivitet.

Om vi till exempel först tillämpar en förskjutning och sedan en rotation är den nya formen fortfarande kongruent med den ursprungliga.

De berömda tre egenskaperna reflexivitet, symmetri och transitivitet utgör tillsammans begreppet ekvivalens. Egenskapen kongruens är således ett slags ekvivalensförhållande mellan former i ett plan.

Frågor och svar

F: Vad innebär det att två figurer är kongruenta i geometri?


S: Två figurer är kongruenta i geometri om de har samma form och storlek, eller om den ena figuren har samma form och storlek som spegelbilden av den andra.

F: Hur kallas två uppsättningar av punkter för kongruenta?


S: Två punktuppsättningar kallas kongruenta om och endast om den ena kan omvandlas till den andra genom isometri.

Fråga: Vad används stela rörelser för vid isometri?


S: Stela rörelser används i isometri för att omplacera, rotera eller spegla geometriska figurer utan att ändra storlek på dem, så att de sammanfaller exakt med andra objekt.

F: Kan två figurer vara kongruenta om en av dem måste ändra sin storlek för att sammanfalla med den andra?


Svar: Nej, om ett av objekten måste ändra sin storlek för att sammanfalla med det andra är de två objekten inte kongruenta, men de kallas likartade.

F: Vad kan vi säga om kongruensen mellan två olika plana figurer på ett papper?


S: Två tydliga plana figurer på ett papper är kongruenta om vi kan klippa ut dem och sedan matcha dem helt och hållet, genom att vända på pappret om det behövs.

Fråga: Vad är kongruenta polygoner?


S: Kongruenta polygoner är polygoner som kan vikas på mitten för att bilda en annan regelbunden polygon som också är kongruent.

Fråga: Vilket är kriteriet för att två objekt ska kallas kongruenta inom geometrin?


S: Kriteriet för att två objekt ska kallas kongruenta i geometri är att det ena objektet kan omplaceras, roteras eller reflekteras så att det sammanfaller exakt med det andra objektet, utan att dess storlek ändras.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3