Kongruens — geometri och talteori
Kongruens beskriver när två figurer eller tal har motsvarande egenskaper: i geometri samma form och storlek via isometrier, i talteori en jämlikhet modulo ett tal. Definitioner, kriterier och användningsområden.
Kongruens är ett begrepp med två vanliga betydelser: i geometrin handlar det om att två figurer har samma form och storlek, och i talteorin om att två heltal lämnar samma rest vid division med ett givet modulus. Inom geometri säger man att två figurer är kongruenta när den ena kan överföras på den andra med en stum förflyttning, det vill säga utan att ändra längder eller vinklar. Begreppet berör både enkla figurer som triangel och komplexa punktuppsättningar.
Bildgalleri
1 Bild
Geometrisk kongruens: form, storlek och rörelser
Formellt är två uppsättningar av punkter kongruenta om det finns en isometri — en avståndsbevarande avbildning — som förflyttar den ena uppsättningen så att den sammanfaller med den andra. Isometrier består i praktiken av stela rörelser: translation (förflyttning), rotation (vridning), spegling (reflektion) eller en sammansatt förflyttning såsom glide reflection.
Det innebär att man tillåter att en figur ändrar orientering, till exempel blir en spegelbild, men inte att den skalas om. Två plana figurer på ett papper kan exempelvis klippas ut och läggas över varandra; om de passar exakt är de kongruenta. Begreppet är centralt när man jämför form och storlek i både praktiska och teoretiska sammanhang.
Polygoner och kongruenskriterier
Kongruenta polygoner har motsvarande hörn, sidor och vinklar. För trianglar finns flera välkända kriterier som avgör kongruens utan att behöva jämföra alla sidlängder och vinklar:
- SSS (sida–sida–sida): tre par motsvarande sidor lika långa.
- SAS (sida–vinkel–sida): två par sidor och den mellanliggande vinkeln lika.
- ASA (vinkel–sida–vinkel): en sida mellan två lika vinklar.
- AAS (vinkel–vinkel–sida): två vinklar och en icke-mellanliggande sida.
- RHS eller HL används för rätvinkliga trianglar (hypotenusa och en katet lika).
För polygoner i allmänhet räcker ofta en överensstämmelse mellan motsvarande sida- och vinkeldata för att fastställa kongruens, men kriterierna varierar med figurens typ.
Kongruens kontra likhet
Det är viktigt att skilja på kongruens och likhet. Likhet (similaritet) kräver endast att två figurer har samma form, det vill säga lika vinklar och proportionella sidor; de kan vara olika stora. Kongruens kräver både form och absolut storlek. Ur matematisk synvinkel är kongruens även en ekvivalensrelation: den är reflexiv, symmetrisk och transitiv, vilket gör att objekt kan delas upp i kongruensklasser.
Kongruens i talteori
I talteori används ordet kongruens för en annan, men relaterad idé: två heltal a och b är kongruenta modulo n om skillnaden a−b är delbar med n. Detta skrivs ofta som a ≡ b (mod n). Begreppet formaliserades tidigt i modern form av Carl Friedrich Gauss och är grunden för begrepp som restklasser, KRYPTOnologi i datorsäkerhet, restteori, samt praktiska metoder som checksummor och kalenderberäkningar.
Precis som i geometrin skapar kongruens i aritmetik ett system av motsvarande element (residuklasser). Arbetet med kongruenser leder till viktiga teorem, till exempel Eulers satser och den kinesiska restsatsen, som har både teoretisk och praktisk betydelse.
Användning och historiska anmärkningar
Kongruens används i skolundervisning för att förstå form och bevisföring i geometri, i teknisk ritning och tillverkningskontroll för att säkerställa passform, samt i matematikens mer abstrakta delar. Historiskt återfinns idéer om oförändrade avstånd hos antika geometers konstruktioner, medan den moderna notationen och systematiska behandlingen av kongruens i talteori tillskrivs Gauss i början av 1800-talet.
För vidare läsning om geometriska transformationer och aritmetiska kongruenser se även allmänna översikter om symmetrier, geometri och isometrier, samt resurser om form och punktuppsättningar i analytisk geometri.
Exempel
- Alla kvadrater som har lika långa sidor är kongruenta.
- Alla liksidiga trianglar som har lika långa sidor är kongruenta.
Test för kongruens
- Två vinklar och sidan mellan dem är lika i två trianglar (ASA-kongruens).
- Två vinklar och en sida som inte ligger mellan dem är lika i båda trianglarna (AAS-kongruens).
- Alla tre sidorna i båda trianglarna är lika långa (SSS-kongruens).
- två sidor och vinkeln mellan dem gör 2 trianglar kongruenta (SAS kongruens)
Hur kan vi få fram nya kongruenta former?
Vi har en hel del möjligheter, några regler för att skapa nya former som är kongruenta med den ursprungliga formen.
- Om vi förskjuter en geometrisk form i planet får vi en form som är kongruent med den ursprungliga formen.
- Om vi roterar i stället för att förskjuta får vi också en form som är kongruent med den ursprungliga formen.
- Även om vi tar en spegelbild av den ursprungliga formen får vi fortfarande en kongruent form.
- Om vi kombinerar de tre aktiviteterna efter varandra får vi fortfarande kongruenta former.
- Det finns inga fler kongruenta former. Mer exakt betyder det att om en form är kongruent med den ursprungliga formen kan den nås genom de tre aktiviteter som beskrivs ovan.
Förhållandet att en form är kongruent med en annan form har tre kända egenskaper.
- Om vi låter den ursprungliga formen stå kvar på sin ursprungliga plats är den kongruent med sig själv. Detta beteende, denna egenskap kallas reflexivitet.
Till exempel om skiftet ovan inte är ett riktigt skift utan bara ett skift som gör en rörelse av längd noll. Eller, på samma sätt, om rotationen ovan inte är en riktig rotation, utan endast en rotation med vinkel noll.
- Om en form är kongruent med en annan form, är den andra formen också kongruent med den ursprungliga. Detta beteende, denna egenskap kallas symmetri.
Om vi till exempel flyttar tillbaka, roterar tillbaka eller speglar tillbaka den nya formen till den ursprungliga formen, är den ursprungliga formen kongruent med den nya.
- Om en form C är kongruent med en form B och formen B är kongruent med den ursprungliga formen A, är formen C också kongruent med den ursprungliga formen A. Detta beteende, denna egenskap kallas transitivitet.
Om vi till exempel först tillämpar en förskjutning och sedan en rotation är den nya formen fortfarande kongruent med den ursprungliga.
De berömda tre egenskaperna reflexivitet, symmetri och transitivitet utgör tillsammans begreppet ekvivalens. Egenskapen kongruens är således ett slags ekvivalensförhållande mellan former i ett plan.
Frågor och svar
F: Vad innebär det att två figurer är kongruenta i geometri?
S: Två figurer är kongruenta i geometri om de har samma form och storlek, eller om den ena figuren har samma form och storlek som spegelbilden av den andra.
F: Hur kallas två uppsättningar av punkter för kongruenta?
S: Två punktuppsättningar kallas kongruenta om och endast om den ena kan omvandlas till den andra genom isometri.
Fråga: Vad används stela rörelser för vid isometri?
S: Stela rörelser används i isometri för att omplacera, rotera eller spegla geometriska figurer utan att ändra storlek på dem, så att de sammanfaller exakt med andra objekt.
F: Kan två figurer vara kongruenta om en av dem måste ändra sin storlek för att sammanfalla med den andra?
Svar: Nej, om ett av objekten måste ändra sin storlek för att sammanfalla med det andra är de två objekten inte kongruenta, men de kallas likartade.
F: Vad kan vi säga om kongruensen mellan två olika plana figurer på ett papper?
S: Två tydliga plana figurer på ett papper är kongruenta om vi kan klippa ut dem och sedan matcha dem helt och hållet, genom att vända på pappret om det behövs.
Fråga: Vad är kongruenta polygoner?
S: Kongruenta polygoner är polygoner som kan vikas på mitten för att bilda en annan regelbunden polygon som också är kongruent.
Fråga: Vilket är kriteriet för att två objekt ska kallas kongruenta inom geometrin?
S: Kriteriet för att två objekt ska kallas kongruenta i geometri är att det ena objektet kan omplaceras, roteras eller reflekteras så att det sammanfaller exakt med det andra objektet, utan att dess storlek ändras.
Relaterade artiklar
Författare
AlegsaOnline.com Kongruens — geometri och talteori Leandro Alegsa
URL: https://sv.alegsaonline.com/art/22523
Källor
- web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures"