Skillnadskvot
Skillnadskvoten är en formel som visar den genomsnittliga förändringshastigheten för en funktion mellan två punkter. I kalkyl är differenskvotienten den formel som används för att hitta derivatan, som är differenskvotienten mellan två punkter som ligger så nära varandra som möjligt, vilket ger förändringstakten för en funktion i en enda punkt. Skillnadskvoten formulerades av Isaac Newton.
Definition av differenskvotienten
En enkel definition
Skillnadskvoten kan beskrivas som formeln för att hitta lutningen på en linje som berör en kurva i endast två punkter (denna linje kallas sekantlinje). Om vi försöker hitta lutningen på en helt rak linje använder vi formeln för lutning, som helt enkelt är förändringen i "y" dividerad med förändringen i "x". Detta är mycket exakt, men bara för raka linjer. Med differenskvotienten kan du däremot hitta lutningen för vilken kurva eller linje som helst i vilken enskild punkt som helst. Skillnadskvoten, liksom formeln för lutning, är bara förändringen i "y" dividerad med förändringen i "x". Den enda skillnaden är att i lutningsformeln används y som y-axel, men i differenskvotienten beskrivs förändringen i y-axeln av f(x). (För en detaljerad beskrivning, se följande avsnitt.)
En matematisk definition
Skillnadskvoten är lutningen på sekantlinjen mellan två punkter.
SLOPEFORMELN i f y = f ( x ) och m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 och x 2 = x 1 + Δ x m = f ( x + Δ x ) - f ( x ) ( x + Δ x ) - x 1 = f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x {\displaystyle if\quad y=f(x)\quad then\quad m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\quad och\quad x_{2}=x_{1}+\Delta x\quad då\quad m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x_{1}}}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}}
Skillnadskvoten kan användas för att hitta lutningen på en kurva och på en rät linje. När vi har hittat differenskvotienten för en funktion har vi en ny funktion, som kallas derivatan. För att hitta kurvans eller linjens lutning anger vi värdet på "x" och får lutningen. Processen att hitta derivatan via differenskvotienten kallas differentiering.
Tillämpningar av differenskvotienten (och derivatan)
Derivatet har många tillämpningar i det verkliga livet. En tillämpning av derivatan är listad nedan.
Fysik
Inom fysiken definieras ett objekts momentana hastighet (hastigheten vid en tidpunkt) som derivatan av objektets position som funktion av tiden. Om t.ex. ett föremåls position ges av x(t)=-16t2 +16t+32, är föremålets hastighet v(t)=-32t+16. För att hitta den momentana accelerationen tar man derivatan av den momentana hastighetsfunktionen. I ovanstående funktion är accelerationsfunktionen till exempel a(t) = -32.
