Kalkyl (differential- och integralräkning): en introduktion

På 1670- och 1680-talen tog Sir Isaac Newton i England och Gottfried Leibniz i Tyskland fram kalkyl samtidigt, men arbetade separat från varandra. Newton ville ha ett nytt sätt att förutsäga var man kan se planeter på himlen, eftersom astronomi alltid hade varit en populär och användbar form av vetenskap, och att veta mer om rörelserna hos objekten på natthimlen var viktigt för navigering av fartyg. Leibniz ville mäta utrymmet (arean) under en kurva (en linje som inte är rak). Många år senare grälade de två männen om vem som upptäckte det först. Vetenskapsmän från England stödde Newton, men vetenskapsmän från resten av Europa stödde Leibniz. De flesta matematiker är idag överens om att båda männen delar på äran lika mycket. Vissa delar av den moderna kalkylen kommer från Newton, t.ex. dess användning inom fysiken. Andra delar kommer från Leibniz, t.ex. de symboler som används för att skriva det.

De var inte de första som använde matematik för att beskriva den fysiska världen - Aristoteles och Pythagoras kom tidigare, liksom Galileo Galilei, som sa att matematiken var vetenskapens språk. Men både Newton och Leibniz var de första som utformade ett system som beskriver hur saker och ting förändras över tid och som kan förutsäga hur de kommer att förändras i framtiden.

Namnet "calculus" är det latinska ordet för en liten sten som de gamla romarna använde för att räkna och spela. Det engelska ordet "calculate" kommer från samma latinska ord.

Differentialberäkning används för att bestämma förändringshastigheten för en variabel jämfört med en annan variabel.

I den verkliga världen kan den användas för att bestämma hastigheten på ett rörligt föremål eller för att förstå hur elektricitet och magnetism fungerar. Det är mycket viktigt för att förstå fysik och många andra vetenskapliga områden.

Differentialräkning är också användbar för grafiska beräkningar. Den kan användas för att hitta lutningen på en kurva och den högsta och lägsta punkten (dessa kallas maximum och minimum) på en kurva.

Variabler kan ändra sitt värde. Detta skiljer sig från siffror eftersom siffror alltid är samma. Till exempel är talet 1 alltid lika med 1 och talet 200 är alltid lika med 200. Man skriver ofta variabler som bokstäver, till exempel bokstaven x. "X" kan vara lika med 1 vid en punkt och 200 vid en annan punkt.

Exempel på variabler är avstånd och tid eftersom de kan förändras. Ett föremåls hastighet är hur långt det färdas på en viss tid. Om en stad ligger 80 kilometer (50 miles) bort och en person i en bil tar sig dit på en timme, har de färdats med en genomsnittshastighet på 80 kilometer (50 miles) i timmen. Men detta är bara ett genomsnitt - kanske har de färdats snabbare vid vissa tillfällen (på en motorväg) och långsammare vid andra tillfällen (vid ett trafikljus eller på en liten gata där människor bor). Tänk dig en förare som försöker räkna ut en bils hastighet med hjälp av endast kilometerräknare och klocka, utan hastighetsmätare!

Innan kalkylen uppfanns var det enda sättet att räkna ut detta att dela upp tiden i allt mindre bitar, så att medelhastigheten under den mindre tiden skulle komma allt närmare den faktiska hastigheten vid en viss tidpunkt. Detta var en mycket lång och svår process och måste göras varje gång människor ville räkna ut något.

Ett mycket liknande problem är att hitta lutningen (hur brant den är) i en punkt på en kurva. Lutningen på en rät linje är lätt att räkna ut - den är helt enkelt hur mycket den går uppåt (y eller vertikalt) dividerat med hur mycket den går tvärs över (x eller horisontellt). På en kurva är lutningen dock variabel (har olika värden i olika punkter) eftersom linjen böjer sig. Men om kurvan skulle skäras i mycket, mycket små bitar skulle kurvan vid punkten se ut nästan som en mycket kort rät linje. Så för att räkna ut dess lutning kan man dra en rät linje genom punkten med samma lutning som kurvan i den punkten. Om det görs exakt rätt kommer den raka linjen att ha samma lutning som kurvan, och kallas en tangent. Men det finns inget sätt att veta (utan mycket komplicerad matematik) om tangenten är exakt rätt, och våra ögon är inte tillräckligt noggranna för att vara säkra på om den är exakt eller bara mycket nära.

Newton och Leibniz hittade ett sätt att räkna ut lutningen (eller hastigheten i exemplet med avståndet) exakt med hjälp av enkla och logiska regler. De delade upp kurvan i ett oändligt antal mycket små bitar. De valde sedan ut punkter på vardera sidan av det intervall som de var intresserade av och räknade ut tangenter vid varje punkt. När punkterna närmade sig varandra mot den punkt som de var intresserade av närmade sig lutningen ett visst värde eftersom tangenterna närmade sig kurvans verkliga lutning. Det särskilda värde som den närmade sig var den verkliga lutningen.

Låt oss säga att vi har en funktion y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f är en förkortning för funktion, så denna ekvation betyder "y är en funktion av x". Detta säger oss att hur högt y är på den vertikala axeln beror på vad x (den horisontella axeln) är vid den tidpunkten. Till exempel, med ekvationen y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} vet vi att om x {\displaystyle x} är 1, kommer y {\displaystyle y} att vara 1; om x {\displaystyle x} är 3, kommer y {\displaystyle y} att vara 9; om x {\displaystyle x} är 20, kommer y {\displaystyle y} att vara 400. Den derivata som framställs med denna metod är x 2{\displaystyle 2x} eller 2 multiplicerat med x {\displaystyle x} . Vi vet alltså utan att behöva rita några tangenter att vid varje punkt på kurvan f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , derivatan, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (markerad med primsymbolen), kommer att vara x 2{\displaystyle 2x} i varje punkt. Denna process att räkna ut en lutning med hjälp av gränser kallas differentiering eller att hitta derivatan.

Det matematiska sättet att skriva derivatan är f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz kom fram till samma resultat, men kallade h " d x {\displaystyle dx} ", vilket betyder "med avseende på x". Han kallade den resulterande förändringen i f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", vilket betyder "en liten mängd y". Leibniz' notation används i fler böcker eftersom den är lätt att förstå när ekvationerna blir mer komplicerade. I Leibniz notation: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematiker har utvecklat denna grundläggande teori för att skapa enkla algebraregler som kan användas för att hitta derivatan för nästan alla funktioner.

Integralkalkalkyl är processen att beräkna arean under en funktionsgraf. Ett exempel är att beräkna avståndet som en bil färdas: om du känner till bilens hastighet vid olika tidpunkter och ritar en graf över denna hastighet, kommer avståndet som bilen färdas att vara arean under grafen.

Detta görs genom att dela upp grafen i många mycket små bitar och sedan rita mycket tunna rektanglar under varje bit. När rektanglarna blir tunnare och tunnare täcker rektanglarna området under grafen bättre och bättre. Arean av en rektangel är lätt att beräkna, så vi kan beräkna den totala arean av alla rektanglar. För tunnare rektanglar närmar sig detta totala areavärde arean under grafen. Det slutliga värdet av arean kallas för funktionens integral.

Inom matematiken skrivs integralen av funktionen f(x) från a till b som ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Den viktigaste idén i kalkyl kallas för kalkylens fundamentala sats. Denna huvudtanke säger att de två kalkylprocesserna, differential- och integralkalkyl, är motsatser. Det vill säga att en person kan använda differentialkalkyl för att ångra en integralkylprocess. Likaså kan en person använda integralkalkalkyl för att upphäva en differentialkalkylmetod. Detta är precis som att använda division för att "upphäva" multiplikation, eller addition för att "upphäva" subtraktion.

I en enda mening kan man säga att den grundläggande satsen lyder ungefär så här: "Derivatan av integralen av en funktion f är själva funktionen".

Kalkyl används för att beskriva saker som förändras, till exempel saker i naturen. Det kan användas för att visa och lära sig allt detta:

• Hur vågor rör sig. Vågor är mycket viktiga i naturen. Ljud och ljus kan till exempel betraktas som vågor.
• Där värme rör sig, som i ett hus. Detta är användbart inom arkitekturen (byggande av hus), så att huset kan vara så billigt att värma upp som möjligt.
• Hur mycket små saker som atomer agerar.
• Hur snabbt något faller, även känt som gravitation.
• Hur maskiner fungerar, även kallat mekanik.
• Månens bana när den rör sig runt jorden. Även jordens bana när den rör sig runt solen, och alla planeter och månar som rör sig runt något annat i rymden.