Föreställ dig ett elektriskt fält E som passerar genom en yta. Tänk dig ett oändligt litet område (dA) på ytan där E kan betraktas som konstant. Anta också att vinkeln mellan E och dA är i. Det elektriska flödet genom detta lilla ytelement definieras då som E dA cos(i). Eftersom både E och dA är vektorer är flödet lika med punktprodukten av dessa två vektorer. I full vektornotation kan det elektriska flödet d Φ E {\displaystyle d\Phi _{E}\,} 
genom ett litet område d A {\displaystyle d\mathbf {A} }
uttryckas som
d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } 
Detta är en skalärstorhet. Tecknet (positivt eller negativt) bestäms av vinkeln mellan E och riktningen på ytnormalen: om fältlinjerna går ut genom ytan (i riktning med den valda utåtriktade normalen) blir flödet positivt, om de går in genom ytan blir det negativt. För öppna ytor beror resultatet på hur man väljer orienteringen (val av normal). För en sluten yta används i allmänhet den utåtriktade normalen, vilket ger ett väl bestämt tecken.
Det elektriska flödet över en yta S erhålls genom att summera bidragen från alla differentialytor, det vill säga genom en ytintegral:
Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } 
där E är det elektriska fältet och dA är en differentialarea på ytan S {\displaystyle S}
med en utåtriktad ytnormal som definierar dess riktning. I praktiska beräkningar förenklas integralen mycket när fältet har hög symmetri (t.ex. homogent fält, sfärisk eller cylindrisk symmetri).
Gauss' lag (integralform)
För en sluten Gaussisk yta S relaterar Gauss' lag det totala elektriska flödet genom ytan till den laddning som ligger innanför ytan. I integralform skrivs lagen som
Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} 
där QS är den nettoladdning som omges av ytan (inklusive både fria och bundna laddningar) och ε0 är den elektriska konstanten (även kallad vakuumpermittiviteten). Denna relation är en av de fyra Maxwell-ekvationerna.
Gauss' lag är alltid giltig — den följer direkt av Coulombs lag och divergensteoremet — men lagen blir användbar för att räkna ut fältet explicit endast när symmetri gör det möjligt att förenkla integralen. Exempel på sådana symmetrier är:
- sfärisk symmetri (punktladdning eller jämnt fördelad sfärisk laddning),
- cylindrisk symmetri (oändlig linjeladdning eller lång linje med jämn laddningsfördelning),
- plan symmetri (oändlig laddad plan yta).
Ett vanligt användbart samband är den differentiala formen av Gauss' lag, som uppnås genom att använda divergensteoremet:
∇·E = ρ/ε0,
där ρ är volymladdningstätheten. Den differentiala formen säger att divergensen av elektriska fältet vid en punkt är proportionell mot laddningstätheten i den punkten.
Exempel (kort)
- Uniformt fält genom en plan yta med area A och vinkel θ mot normals riktning: Φ = E A cosθ.
- Sluten sfärisk yta runt en punktladdning q: Φ = q/ε0 oberoende av radien — detta visar att fältets totala flöde bara beror på den inneslutna laddningen.
- För en lång, tunn linje med linjeladdningstäthet λ och en cylinderisk Gauss-yta ger symmetri att fältet E(r) = λ/(2π ε0 r).
Enheter och dimensioner
Det elektriska flödet har SI-enheten voltmeter (V·m). Eftersom volt är joule per coulomb (V = J/C) kan man också skriva:
V·m = (J/C)·m = N·m^2/C.
Med SI-basenheter blir det elektriska flödet:
kg·m^3·s−3·A−1.
Praktiska anmärkningar
- Vid beräkningar är det viktigt att definiera ytnormalens riktning tydligt — för slutna ytor används normalt utåtriktad normal.
- Gauss' lag tar hänsyn till alla typer av laddning (fria och bundna). I material med dielektriska egenskaper kan det därför vara nödvändigt att skilja på fältet E och den elektriska displacementfältet D beroende på vad man vill räkna ut.
- Trots att Gauss' lag alltid gäller, är användbarheten i praktiken begränsad av hur lätt integralen kan utföras — symmetri gör ofta uppgiften möjlig att lösa analytiskt.
Genom att förstå begreppet elektriskt flöde och tillämpa Gauss' lag kan man i många fall snabbt få insikt i fältets styrka och riktning utan att behöva lösa Poissons eller Laplaces ekvationer direkt.