Ytintegraler – definition, beräkning och tillämpningar i fysiken

Betrakta en yta S på vilken ett skalarfält f är definierat. Om man tänker sig att S är gjord av något material, och för varje x i S är talet f(x) materialets densitet vid x, så är ytintegralen av f över S massan per tjockleksenhet av S. (Detta gäller endast om ytan är ett oändligt tunt skal.) Ett sätt att beräkna ytintegralen är att dela upp ytan i många mycket små bitar, anta att densiteten på varje bit är ungefär konstant, hitta massan per tjockleksenhet för varje bit genom att multiplicera bitens densitet med dess area, och sedan summera de resulterande talen för att hitta den totala massan per tjockleksenhet för S.

För att hitta en explicit formel för ytintegralen parametriserar matematiker S genom att betrakta S som ett system av kurvlinjära koordinater, som latitud och longitud på en sfär. Låt en sådan parametrisering vara x(s, t), där (s, t) varierar i en region T i planet. Då ges ytintegralen av följande

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}

där uttrycket mellan staplarna på höger sida är storleken på korsprodukten av de partiella derivatorerna av x(s, t).

För att hitta ytan av en allmän funktionell form, till exempel z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , har vi till exempel följande

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\\dx\,dy}

där r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Så att ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} , och ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Så,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\\\\\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\\\&{}=\iint _{T}\left\\\\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

som är den formel som används för ytan av en allmän funktionell form. Man kan känna igen vektorn i den andra raden ovan som normalvektorn till ytan.

Observera att på grund av korsprodukten fungerar ovanstående formler endast för ytor som är inbäddade i tredimensionella rum.

Betrakta ett vektorfält v på S, det vill säga för varje x i S är v(x) en vektor.

Ytintegralen kan definieras komponentvis enligt definitionen av ytintegralen för ett skalärt fält; resultatet är en vektor. Detta gäller t.ex. det elektriska fältet i en fast punkt på grund av en elektriskt laddad yta, eller gravitationen i en fast punkt på grund av ett materialskikt. Den kan också beräkna det magnetiska flödet genom en yta.

Alternativt kan matematiker integrera vektorfältets normalkomponent; resultatet är en skalär. Ett exempel är en vätska som strömmar genom S, där v(x) bestämmer vätskehastigheten vid x. Flödet definieras som den mängd vätska som strömmar genom S under en tidsenhet.

Denna illustration innebär att om vektorfältet tangerar S i varje punkt är flödet noll, eftersom vätskan bara flödar parallellt med S och varken in eller ut. Detta innebär också att om v inte bara flödar längs S, dvs. om v har både en tangentiell och en normal komponent, är det bara den normala komponenten som bidrar till flödet. För att hitta flödet måste vi utifrån detta resonemang ta punktprodukten av v med enhetsytanormalen till S i varje punkt, vilket ger oss ett skalärt fält, och integrera det erhållna fältet på samma sätt som ovan. Detta ger formeln

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt. }

Korsprodukten på den högra sidan av detta uttryck är en ytnormal som bestäms av parametriseringen.

Denna formel definierar integralen till vänster (observera pricken och vektornotationen för ytelementet).

Olika användbara resultat för ytintegraler kan härledas med hjälp av differentialgeometri och vektorkalkyl, t.ex. divergenssatsen och dess generalisering, Stokes' sats.

Ändring av parametrisering

I diskussionen ovan definierades ytintegralen med hjälp av en parametrisering av ytan S. En given yta kan ha flera parametriseringar. När t.ex. nordpolens och sydpolens positioner flyttas på en sfär ändras latitud och longitud för alla punkter på sfären. En naturlig fråga är då om definitionen av ytintegralen beror på den valda parametriseringen. För integraler av skalära fält är svaret på denna fråga enkelt, värdet av ytintegralen kommer att vara detsamma oavsett vilken parametrisering man använder.

Integraler av vektorfält är mer komplicerade eftersom ytnormalen är inblandad. Matematiker har bevisat att om man ger två parametriseringar av samma yta, vars ytnormer pekar i samma riktning, ger båda parametriseringarna samma värde för ytintegralen. Om emellertid normaler för dessa parametriseringar pekar i motsatta riktningar är värdet av ytintegralen som erhålls med hjälp av den ena parametriseringen det negativa värdet av det värde som erhålls med hjälp av den andra parametriseringen. Av detta följer att vi, givet en yta, inte behöver hålla oss till någon unik parametrisering; men när vi integrerar vektorfält behöver vi i förväg bestämma i vilken riktning normalen kommer att peka och sedan välja en parametrisering som är förenlig med den riktningen.

Parameteriseringar fungerar på delar av ytan

Ett annat problem är att ytor ibland inte har parametriseringar som täcker hela ytan, vilket till exempel gäller för en cylinders yta (med ändlig höjd). Den uppenbara lösningen är då att dela upp ytan i flera delar, beräkna ytintegralen för varje del och sedan addera dem alla. Det är faktiskt så det fungerar, men när man integrerar vektorfält måste man återigen vara försiktig med hur man väljer normalpekande vektor för varje del av ytan, så att resultaten blir konsekventa när delarna sätts ihop igen. För cylindern innebär detta att om vi bestämmer att för sidoområdet ska normalvektorn peka ut från kroppen, så måste normalvektorn för de övre och nedre cirkulära delarna också peka ut från kroppen.

Inkonsekventa ytnormer

Slutligen finns det ytor som inte har en ytnormal i varje punkt med konsekventa resultat (t.ex. Möbiusremsan). Om en sådan yta delas upp i bitar, för varje bit väljs en parametrisering och motsvarande ytnormal, och bitarna sätts ihop igen, kan de normalvektorer som kommer från olika bitar inte förenas. Detta innebär att vid någon korsning mellan två delar kommer normalvektorerna att peka i motsatt riktning. En sådan yta kallas icke-orienterbar. Vektorfält kan inte integreras på icke-orienterbara ytor.

• Divergenssatsen
• Stokes sats
• Linjeintegral
• Volymintegral
• Kartesiskt koordinatsystem
• Volym- och ytelement i ett sfäriskt koordinatsystem
• Volym- och ytelement i ett cylindriskt koordinatsystem.
• Holstein-Herring-metoden