Linje (geometri) — definition, egenskaper och typer

Upptäck vad en linje är inom geometri: definition, grundläggande egenskaper och olika typer för att förstå linjers betydelse i matematik och konstruktion.

En linje är den väg som en punkt rör sig på i ett plan eller i rummet. En linje har längd men ingen bredd. En linje är en typ av geometrisk figur och betraktas i matematiken som ett endimensionellt objekt med oändlig utsträckning i minst en riktning.

En linje består av ett oändligt antal punkter. Beroende på vilken sorts linje det är kan den sträcka sig i båda riktningar utan slut (rak linje), ha en början och ett slut (linjesegment) eller ha en beginpunkt och sträcka sig oändligt åt ett håll (halvräta eller stråle).

Egenskaper

• Endimensionell: En linje har bara längd, inget tvärsnitt eller yta.
• Oändlighet: En rak linje i euklidisk geometri fortsätter utan gräns i ena eller båda riktningarna.
• Består av punkter: Varje punkt på linjen uppfyller samma geometriska villkor (t.ex. en linjes ekvation).
• Parallellitet: Två linjer är parallella om de aldrig skär varandra (i planet) och har samma riktning.
• Vinkel och ortogonalitet: Två linjer som möts bildar en vinkel; de är ortogonala (vinkelräta) om vinkeln är 90°.

Typer av linjer

• Rak linje: En oändligt lång, rak bana utan krökning.
• Linjesegment: En del av en rak linje som begränsas av två ändpunkter.
• Halvräta / stråle: En punkt (början) och alla punkter i en given riktning från den punkten.
• Kurva: En allmän bana som kan vara böjd; inkluderar cirklar, parabler m.m.
• Sluten kurva: En kurva som återvänder till startpunkten, t.ex. en cirkel.

Analytisk beskrivning

I koordinatgeometri beskriver man ofta linjer med ekvationer:

• Allmän form i planet: ax + by + c = 0.
• Hållpunkt-kvotform / riktningsform: y = mx + b (där m är lutningen).
• Parametrisk form: x = x0 + t·v_x, y = y0 + t·v_y (lämplig i både plan och rymd).
• Rymd: I 3D används ofta vektorform r(t) = r0 + t·v för en rak linje.

Viktiga formler och relationer

• Avstånd från punkt (x0,y0) till linjen ax+by+c=0: |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2).
• Vinkel mellan två linjer med lutningar m1 och m2: tan θ = |(m1 − m2) / (1 + m1·m2)| (när inte någon är vertikal).
• Parallella linjer: har samma koefficienter för x och y (proportionella) i allmän form eller samma m i y = mx + b.
• Ortogonala linjer: Om m1·m2 = −1 (i planet) är linjerna vinkelräta.

Linjer i andra geometrier

I euklidisk geometri är en rak linje det enklaste exemplet på en geodet. I icke-euklidiska geometrier ändras begreppet: på en sfär motsvarar de "rakaste" banorna storcirklar (t.ex. längs jordens yta), och i hyperbolisk geometri beter sig linjer annorlunda beträffande parallellitet och vinkelsummor i trianglar.

Tillämpningar

Linjer används i många områden: konstruktion och arkitektur, teknisk ritning, datorgrafik, fysik (rörelse längs en bana), optik (ljusstrålar approximeras ofta som räta linjer) och i analytisk geometri för att beskriva relationer mellan punkter och figurer.

Exempel: Linjen genom punkterna (x1,y1) och (x2,y2) kan skrivas i riktningsform med lutning m = (y2 − y1)/(x2 − x1) (om x1 ≠ x2). Linjeekvationen blir då y − y1 = m(x − x1).

Sök med bokstav