Cirkel | en rund, tvådimensionell form

En cirkel är en rund, tvådimensionell form. Alla punkter på cirkelns kant är på samma avstånd från centrum.

En cirkels radie är en linje från cirkelns centrum till en punkt på sidan. Matematiker använder bokstaven r {\displaystyle r} för längden på en cirkels radie. En cirkels centrum är punkten i mitten. Den skrivs ofta som O {\displaystyle O} $O$ .

Diametern (som betyder "hela vägen över") i en cirkel är en rak linje som går från en sida till den motsatta sidan och rakt igenom cirkelns centrum. Matematiker använder bokstaven d {\displaystyle d} $d$ för längden på denna linje. En cirkels diameter är lika med två gånger dess radie ( d {\displaystyle d} $d$ är lika med 2 gånger r {\displaystyle r} ):

d = 2 r {\displaystyle d=2r} $d=2r$

En cirkels omkrets (som betyder "hela vägen runt") är den linje som går runt cirkelns centrum. Matematiker använder bokstaven C {\displaystyle C} $C$ för längden på denna linje.

Talet π (skrivet som den grekiska bokstaven pi) är ett mycket användbart tal. Det är omkretsens längd dividerat med diameterns längd ( π {\displaystyle \pi } $\pi$ är lika med C {\displaystyle C} $C$ dividerat med d {\displaystyle d} $d$ ). Som bråk är π {\displaystyle \pi } $\pi$ lika med ungefär 22/7 {\displaystyle 22/7} $22/7$ eller 355/113 {\displaystyle 355/113} $355/113$ (vilket som är närmast) och som tal är det ungefär 3,1415926535.

Området, A {\displaystyle A} $A$ , inuti en cirkel är lika med radien multiplicerad med sig själv och sedan multiplicerad med π {\displaystyle \pi } $\pi$ ( A {\displaystyle A} $A$ är lika med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gånger r {\displaystyle r} gånger r {\displaystyle r} ).

Cirkelns area är lika med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gånger arean av den grå kvadraten.

En cirkel

Beräkning av π

π {\displaystyle \pi } $\pi$ kan mätas genom att rita en cirkel och sedan mäta dess diameter ( d {\displaystyle d} $d$ ) och omkrets ( C {\displaystyle C} $C$ ). Detta beror på att en cirkels omkrets alltid är lika med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gånger diametern.

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} $\pi ={\frac {C}{d}}$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ kan också beräknas enbart med hjälp av matematiska metoder. De flesta metoder som används för att beräkna värdet av π {\displaystyle \pi } $\pi$ har önskvärda matematiska egenskaper. De är dock svåra att förstå utan att kunna trigonometri och kalkyl. Vissa metoder är dock ganska enkla, till exempel denna form av Gregory-Leibniz-serien:

π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 ... {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}}-{\frac {4}{3}}}+{\frac {4}{5}}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}}\,\ldots } $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\,\ldots$

Även om denna serie är lätt att skriva och beräkna är det inte lätt att se varför den är lika med π {\displaystyle \pi } $\pi$ . Ett mycket enklare sätt att närma sig är att rita en imaginär cirkel med radie r {\displaystyle r} med centrum i origo. Varje punkt ( x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} ) vars avstånd d {\displaystyle d} $d$ från origo är mindre än r {\displaystyle r} , beräknat med hjälp av Pythagoras sats, kommer att ligga inom cirkeln:

d = x 2 + y 2 {\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Genom att hitta en uppsättning punkter inuti cirkeln kan cirkelns area A {\displaystyle A} $A$ uppskattas, till exempel genom att använda heltalskoordinater för en stor r {\displaystyle r} . Eftersom cirkelns area A {\displaystyle A} $A$ är π {\displaystyle \pi } $\pi$ gånger radien i kvadrat, kan π {\displaystyle \pi } $\pi$ uppskattas med hjälp av följande formel:

π = A r 2 {\displaystyle \pi ={\frac {A}{r^{2}}}} $\pi ={\frac {A}{r^{2}}}$

Beräkning av en cirkels area, omkrets, diameter och radie

Område

Med hjälp av dess radie: A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} $A=\pi r^{2}$

Genom att använda dess diameter: A = π d 2 4 {\displaystyle A={\frac {\pi d^{2}}{4}}}} $A={\frac {\pi d^{2}}{4}}$

Med hjälp av dess omkrets: A = C 2 4 π {\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\pi }}} $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$

Omkrets

Genom att använda dess diameter: C = π d {\displaystyle C=\pi d} $C=\pi d$

Med hjälp av dess radie: C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} $C=2\pi r$

Användning av sitt område: C = 2 π A {\displaystyle C=2{\sqrt {\pi A}}} $C=2{\sqrt {\pi A}}$

Diameter

Med hjälp av dess radie: d = 2 r {\displaystyle d=2r} $d=2r$

Med hjälp av dess omkrets: d = C π {\displaystyle d={\frac {C}{\pi }}} $d={\frac {C}{\pi }}$

Med hjälp av dess area: d = 2 A π {\displaystyle d=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}} $d=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Radius

Med hjälp av dess diameter: r = d 2 {\displaystyle r={\frac {d}{2}}}} $r={\frac {d}{2}}$

Med hjälp av dess omkrets: r = C 2 π {\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}} $r={\frac {C}{2\pi }}$

Med hjälp av dess area: r = A π {\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}} $r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Relaterade sidor

Halvcirkel
Sfär
Att göra cirkeln fyrkantig
Pi
Pi (bokstav)
Tau

Frågor och svar

F: Vad är en cirkel?

S: En cirkel är en rund, tvådimensionell form. Alla punkter på cirkelns kant befinner sig på samma avstånd från centrum.

F: Vad använder matematiker för att representera längden på en cirkels radie?

S: Matematiker använder bokstaven r för längden på en cirkels radie.

F: Vad skrivs som O i cirklar?

S: En cirkels centrum skrivs ofta med O.

F: Hur lång är diametern på en cirkel?

S: En cirkels diameter (som betyder "hela vägen över") är en rät linje som går från en sida till den motsatta och rakt genom cirkelns centrum. Den är lika med två gånger dess radie (d är lika med 2 gånger r).

F: Vilken bokstav använder matematikerna för att beteckna omkrets?

S: Matematiker använder C för omkrets, vilket betyder "runtom".

F: Hur kan vi beräkna arean inom en cirkel?

S: Arean, A, inuti en cirkel kan beräknas genom att multiplicera dess radie med sig själv och sedan multiplicera med ً (A är lika med ً gånger r gånger r).