Lorentzfaktorn är den faktor med vilken tid, längd och massa förändras för ett objekt som rör sig med hastigheter nära ljusets hastighet (relativistiska hastigheter).
Ekvationen är:
γ = 1 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}}})^{2}}}}} 
där v är föremålets hastighet och c är ljusets hastighet. Mängden (v/c) betecknas ofta β {\displaystyle \beta } 
(beta) och därför kan ovanstående ekvation skrivas om:
γ = 1 / √(1 − β²) där β = v/c.
Vad betyder lorentzfaktorn?
Lorentzfaktorn γ bestämmer hur mycket relativistiska effekter ändrar mätningar mellan referensramar som rör sig relativt varandra. Några konkreta tillämpningar:
- Tiddilatation: En klocka som rör sig med hastighet v enligt en observatör går långsammare med faktor γ: t = γ t0, där t0 är den egna (egentliga) tiden.
- Längdkontraktion: Längden längs rörelseriktningen uppmätt i rörlig ram blir kortare: L = L0 / γ, där L0 är längden i det objektets viloram.
- Relativistisk rörelsemängd (momentum): p = γ m v (här är m vilomassan, ofta kallad vilomassa eller egenmassa).
- Energisamband: Total energi E = γ m c² och kinetisk energi = (γ − 1) m c².
Egenskaper och gränsvärden
- γ ≥ 1 för alla fysiska hastigheter; γ = 1 när v = 0 (inga relativistiska effekter).
- När v → c går γ → ∞. Det är anledningen till att en massiv partikel aldrig når ljusets hastighet med ändlig energi.
- För låga hastigheter (v << c) kan γ approximeras med en Taylor-serie: γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β^4 + ..., vilket visar att effekterna är mycket små vid vardagliga hastigheter.
Numeriska exempel
- v = 0.9 c → β = 0.9 → γ ≈ 2.294.
- v = 0.99 c → β = 0.99 → γ ≈ 7.089.
- v = 0.999 c → β = 0.999 → γ ≈ 22.37.
Dessa exempel visar att även små ökningar i β nära 1 ger stora ökningar i γ.
Kort härledning
Lorentzfaktorn kommer direkt från kravet att hastigheten för ljus c är densamma i alla inertialramar och från bevarandet av det minkowskiska rums-tidsintervallet ds² = −c²dt² + dx² + dy² + dz². Genom att kräva att intervallet är invariant under linjära transformationer mellan inertialramar får man Lorentztransformationerna, där tids- och rumskoordinater blandas och faktorn γ framträder som normaliseringsfaktor.
Relationer och alternativa parametrar
- Rapidity (φ): I stället för hastighet används ibland rapiditet φ = atanh(β). Då ges γ = cosh φ och βγ = sinh φ. Rapidity har fördelen att addition av hastigheter blir enkel addition av rapiditeter.
- Velocity addition: Lorentzfaktorn ingår i reglerna för relativistisk addition av hastigheter och i transformationerna av tid och längd mellan ramar.
Experimentell bekräftelse
- Partikelfysik: Partiklar i acceleratorer visar ökad livslängd och energi enligt γ, vilket överensstämmer med E = γ m c² och p = γ m v.
- Atmosfäriska myoner: Myoner som skapas högt upp i atmosfären når jordytan tack vare tiddilatation — deras livslängd i jordens referensram förlängs med faktor γ.
- GPS-systemet: Relativistiska korrektioner (både speciella och allmänna relativitetseffekter) är nödvändiga för att GPS-satelliter ska ge korrekta positionsangivelser; Lorentzfaktorn ingår i dessa korrigeringar för hastighetsberoende effekter.
Praktiska kommentarer
- Begreppet "relativistisk massa" (m_rel = γ m) förekommer historiskt, men många moderna läroböcker undviker det och föredrar att hålla massan som vilomassan m och i stället använda γ i uttryck för energi och rörelsemängd.
- Lorentzfaktorn är en fundamental komponent i speciell relativitetsteori och behövs i alla beräkningar där hastigheter når betydande bråkdelar av c.
Sammanfattningsvis är Lorentzfaktorn γ = 1/√(1 − β²) (med β = v/c) ett mått på hur mycket tid, längd och dynamiska storheter förändras mellan referensramar i relativitetsteorin. Den växer kraftigt när v närmar sig ljusets hastighet och ligger till grund för många observerade relativistiska effekter.
