Lorentzfaktorn – definition, formel och betydelse i relativitetsteori

Lorentzfaktorn: definition, formel och betydelse i relativitetsteorin — förklarar hur tid, längd och massa förändras för objekt nära ljusets hastighet och hur γ beräknas.

Författare: Leandro Alegsa

14-01-2026 23:51

Lorentzfaktorn är den faktor med vilken tid, längd och massa förändras för ett objekt som rör sig med hastigheter nära ljusets hastighet (relativistiska hastigheter).

Ekvationen är:

γ = 1 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}}})^{2}}}}} $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}$

där v är föremålets hastighet och c är ljusets hastighet. Mängden (v/c) betecknas ofta β {\displaystyle \beta } $\beta$ (beta) och därför kan ovanstående ekvation skrivas om:

γ = 1 / √(1 − β²) där β = v/c.

Vad betyder lorentzfaktorn?

Lorentzfaktorn γ bestämmer hur mycket relativistiska effekter ändrar mätningar mellan referensramar som rör sig relativt varandra. Några konkreta tillämpningar:

Tiddilatation: En klocka som rör sig med hastighet v enligt en observatör går långsammare med faktor γ: t = γ t0, där t0 är den egna (egentliga) tiden.
Längdkontraktion: Längden längs rörelseriktningen uppmätt i rörlig ram blir kortare: L = L0 / γ, där L0 är längden i det objektets viloram.
Relativistisk rörelsemängd (momentum): p = γ m v (här är m vilomassan, ofta kallad vilomassa eller egenmassa).
Energisamband: Total energi E = γ m c² och kinetisk energi = (γ − 1) m c².

Egenskaper och gränsvärden

γ ≥ 1 för alla fysiska hastigheter; γ = 1 när v = 0 (inga relativistiska effekter).
När v → c går γ → ∞. Det är anledningen till att en massiv partikel aldrig når ljusets hastighet med ändlig energi.
För låga hastigheter (v << c) kan γ approximeras med en Taylor-serie: γ ≈ 1 + 1/2 β² + 3/8 β^4 + ..., vilket visar att effekterna är mycket små vid vardagliga hastigheter.

Numeriska exempel

v = 0.9 c → β = 0.9 → γ ≈ 2.294.
v = 0.99 c → β = 0.99 → γ ≈ 7.089.
v = 0.999 c → β = 0.999 → γ ≈ 22.37.

Dessa exempel visar att även små ökningar i β nära 1 ger stora ökningar i γ.

Kort härledning

Lorentzfaktorn kommer direkt från kravet att hastigheten för ljus c är densamma i alla inertialramar och från bevarandet av det minkowskiska rums-tidsintervallet ds² = −c²dt² + dx² + dy² + dz². Genom att kräva att intervallet är invariant under linjära transformationer mellan inertialramar får man Lorentztransformationerna, där tids- och rumskoordinater blandas och faktorn γ framträder som normaliseringsfaktor.

Relationer och alternativa parametrar

Rapidity (φ): I stället för hastighet används ibland rapiditet φ = atanh(β). Då ges γ = cosh φ och βγ = sinh φ. Rapidity har fördelen att addition av hastigheter blir enkel addition av rapiditeter.
Velocity addition: Lorentzfaktorn ingår i reglerna för relativistisk addition av hastigheter och i transformationerna av tid och längd mellan ramar.

Experimentell bekräftelse

Partikelfysik: Partiklar i acceleratorer visar ökad livslängd och energi enligt γ, vilket överensstämmer med E = γ m c² och p = γ m v.
Atmosfäriska myoner: Myoner som skapas högt upp i atmosfären når jordytan tack vare tiddilatation — deras livslängd i jordens referensram förlängs med faktor γ.
GPS-systemet: Relativistiska korrektioner (både speciella och allmänna relativitetseffekter) är nödvändiga för att GPS-satelliter ska ge korrekta positionsangivelser; Lorentzfaktorn ingår i dessa korrigeringar för hastighetsberoende effekter.

Praktiska kommentarer

Begreppet "relativistisk massa" (m_rel = γ m) förekommer historiskt, men många moderna läroböcker undviker det och föredrar att hålla massan som vilomassan m och i stället använda γ i uttryck för energi och rörelsemängd.
Lorentzfaktorn är en fundamental komponent i speciell relativitetsteori och behövs i alla beräkningar där hastigheter når betydande bråkdelar av c.

Sammanfattningsvis är Lorentzfaktorn γ = 1/√(1 − β²) (med β = v/c) ett mått på hur mycket tid, längd och dynamiska storheter förändras mellan referensramar i relativitetsteorin. Den växer kraftigt när v närmar sig ljusets hastighet och ligger till grund för många observerade relativistiska effekter.

Klassisk relativitet

Klassisk relativitetsteori är idén att om du kastar en boll i en hastighet av 50 mph samtidigt som du springer i en hastighet av 5 mph, rör sig bollen i 55 mph. Naturligtvis rör sig bollen fortfarande bort från dig i en hastighet av 50 mph, så om någon frågar dig så ser du att bollen rör sig i en hastighet av 50 mph. Samtidigt såg din vän Rory att du råkade springa i en hastighet av 5 mph. Han skulle säga att bollen rörde sig i 55 mph. Ni har båda rätt, ni råkade bara röra er tillsammans med bollen.

Ljusets hastighet c är 670 616 629 mph. Så om du sitter i en bil som färdas med halva ljusets hastighet (0,5 c) och du tänder strålkastarna, rör sig ljuset bort från dig med 1 c... eller är det 1,5 c? Det slutar med att c är c oavsett vad som händer. I nästa avsnitt förklaras varför det inte är c - 0,5c.

Tidsutvidgning

När en klocka är i rörelse tickar den långsammare med en liten faktor γ {\displaystyle \gamma } $\gamma$ . Den berömda tvillingparadoxen säger att om det fanns två tvillingar och tvilling A stannade kvar på jorden medan tvilling B reste nära c i några år, skulle tvilling B vara många år yngre än tvilling A när han kom tillbaka till jorden (eftersom han upplevde mindre tid). Om t.ex. tvilling B åkte iväg när han var 20 år och reste i 0,9c i 10 år, skulle tvilling B vara 30 år (20 år + 10 år) och tvilling A skulle vara nästan 43 år när han kom tillbaka till jorden:

20 + ( 10 ∗ 1 1 1 - . 9 2 ) = 42.9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42.9416} $20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42.9416$

Tvilling B skulle inte märka att tiden hade saktats ner alls. Om han tittade ut genom fönstret skulle det för honom se ut som om universum rörde sig förbi honom och därför var långsammare (kom ihåg att han befinner sig i vila). Tiden är alltså relativ.

Längdkontraktion

Saker och ting blir kortare i rörelseriktningen när de färdas med relativistiska hastigheter. Under tvilling B:s resa skulle han märka något märkligt med universum. Han skulle märka att det blev kortare (kontraherade i hans rörelseriktning). Och faktorn med vilken saker och ting blir kortare är γ {\displaystyle \gamma } $\gamma$ .

Relativistisk massa

Den relativistiska massan ökar också. Det gör dem svårare att skjuta. Så när du når 0,9999c behöver du en mycket stor kraft för att gå snabbare. Detta gör det omöjligt för någonting att nå ljusets hastighet.

Men om du reser lite långsammare, till exempel 90 procent av ljusets hastighet, ökar din massa bara med 2,3 gånger. Även om det kanske är omöjligt att nå ljusets hastighet kan det alltså vara möjligt att komma nära - om man har tillräckligt med bränsle.

Frågor och svar

F: Vad är Lorentzfaktorn?

Svar: Lorentzkoefficienten är den koefficient med vilken tid, längd och massa förändras vid relativistisk hastighet (nära ljusets hastighet) för ett objekt i rörelse.

F: Vem är den uppkallad efter?

Svar: Lorentzfaktorn är uppkallad efter den nederländska fysikern Hendrik Lorentz.

F: Vilken ekvation beskriver Lorentzfaktorn?

Svar: Ekvationen för Lorentzfaktorn är gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2))), där v är objektets hastighet och c är ljusets hastighet.

F: Vad betyder (v/c) i denna ekvation?

Svar: I denna ekvation representerar (v/c) beta, förhållandet mellan föremålets hastighet och ljusets hastighet.

F: Hur kan denna ekvation skrivas om?

Svar: Vi kan skriva om ekvationen till gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).

Sök