Sekvens (matematik) – definition, ändliga och oändliga sekvenser

Lär dig vad en sekvens är inom matematik — definition, exempel på ändliga och oändliga sekvenser, notation och hur regler beskriver termerna.

Författare: Leandro Alegsa

En sekvens är ett ord som betyder "en uppsättning relaterade händelser, rörelser eller föremål som följer på varandra i en viss ordning".

Den används inom matematik och andra discipliner. I vanlig användning betyder det en serie händelser som följer på varandra. Inom matematiken består en sekvens av flera saker som sätts samman, en efter en. Det spelar roll i vilken ordning sakerna är placerade. Till exempel är både (Blå, röd, gul) och (gul, blå, röd) sekvenser, men de är inte samma sak. Sekvenser som består av tal kallas också för progressionsföljder.

Det finns två typer av sekvenser. Den ena typen är ändliga sekvenser, som har ett slut. Till exempel är (1, 2, 3, 4, 5) en ändlig sekvens. Den andra sorten är oändliga sekvenser, vilket innebär att de fortsätter och aldrig tar slut. Ett exempel på en sekvens som är oändlig är sekvensen av alla jämna tal, större än 0. Denna sekvens tar aldrig slut: den börjar med 2, 4, 6 och så vidare, och man kan alltid fortsätta att nämna jämna tal.

Om en sekvens är ändlig är det lätt att säga vad den är: man kan helt enkelt skriva ner alla saker i sekvensen. Detta fungerar inte för en oändlig sekvens. Så ett annat sätt att skriva ner en sekvens är att skriva en regel för att hitta en sak på vilken plats som helst. Regeln bör tala om hur man får fram tinget på den n:e platsen, där n kan vara ett valfritt naturligt tal. Detta innebär att en sekvens egentligen är en speciell typ av funktion med naturliga tal som domän. Vi skriver ibland en sekvens som ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} {\displaystyle (a_{n})}, där a n {\displaystyle a_{n}}}{\displaystyle a_{n}} står för den n:e termen i sekvensen.

Regeln kan till exempel vara att det som står på n:e plats är talet 2×n (2 gånger n). Detta säger oss vad hela sekvensen är, även om den aldrig slutar. Det första talet är 2×1, vilket är 2. Det andra talet är 2×2, eller 4. Om vi vill veta vad det 100:e talet är kan vi helt enkelt räkna ut 2×100 och få 200. Oavsett vilken sak i sekvensen vi vill ha kan regeln berätta vad det är.

Notation och indexering

En sekvens skrivs ofta som (an) eller a1, a2, a3, ... där an betecknar den n:e termen. Ibland börjar indexering med n = 1, men det är också vanligt att börja med n = 0 (särskilt inom datavetenskap). Det är viktigt att ange vilket värde n börjar på när man anger en formel för en sekvens.

Ändliga och oändliga sekvenser

Ändliga sekvenser har ett slut och kan helt skrivas ut, till exempel (3, 5, 7, 9). De kan ses som en funktion från en ändlig delmängd av de naturliga talen till värdemängden.

Oändliga sekvenser fortsätter utan slut, till exempel (1, 1/2, 1/3, 1/4, ...). För sådana sekvenser anger man oftast en formel för allmäntermen an eller en regel som genererar termerna.

Vanliga typer av talföljder

  • Aritmetisk följd (aritmetisk progression): skillnaden mellan två närliggande termer är konstant. Exempel: an = a1 + (n−1)d, där d är differensen. Exempel: 2, 5, 8, 11, ... (här d = 3).
  • Geometrisk följd (geometrisk progression): kvoten mellan två närliggande termer är konstant. Exempel: an = a1·r^(n−1), där r är kvoten. Exempel: 3, 6, 12, 24, ... (här r = 2).
  • Alternerande följd: tecknen eller värdena växlar, till exempel 1, −1, 1, −1, ...

Egenskaper för oändliga sekvenser

Några viktiga begrepp när man studerar oändliga sekvenser:

  • Konvergens: sekvensen sägs konvergera mot ett gränsvärde L om termerna blir godtyckligt nära L när n går mot oändligheten. Man skriver limn→∞ an = L.
  • Divergens: om sekvensen inte konvergerar, sägs den divergera. Den kan t.ex. gå mot oändligheten eller oscillera utan gräns.
  • Begränsad: en sekvens är begränsad om alla termer ligger inom något ändligt intervall [M, N].
  • Monoton: en sekvens är monoton växande (an+1 ≥ an) eller monoton avtagande (an+1 ≤ an).

Subsekvenser och ordning

En subsekvens är en sekvens som bildas genom att välja ut termer ur en annan sekvens i bevarad ordning, men inte nödvändigtvis alla. Exempel: ur (1,2,3,4,5,6,...) är (2,4,6,...) en subsekvens. Eftersom ordningen spelar roll kan permutationen av en sekvens ge en helt annan sekvens.

Sekvenser som funktioner

Formellt kan en sekvens ses som en funktion a: D → S där D är en delmängd av de naturliga talen (t.ex. {1,2,3,...}) och S är en mängd (t.ex. reella tal). Vid det synsättet är a(n) = an.

Operationer och jämförelser

Man kan lägga ihop, subtrahera och multiplicera sekvenser termvis: om (an) och (bn) är två sekvenser, definieras (an+bn) som den sekvens vars n:e term är an+bn. Liknande gäller för differens och produkt. Gränsvärdesregler tillåter ofta att man tar gränsvärden termvis under vissa villkor.

Vanliga notationer och praxis

  • Man skriver ofta (an)n=1^∞ för att betona att sekvensen är oändlig och index börjar vid 1.
  • I vissa sammanhang används an istället för parenteser: a1, a2, ...
  • Det är viktigt att klargöra om indexering börjar vid 0 eller 1.

Vanliga missuppfattningar

En vanlig missuppfattning är att alla oändliga sekvenser måste "fortsätta växa" — många konvergerar istället till ett ändligt värde (t.ex. 1/n → 0). En annan är att blanda ihop mängder och sekvenser: mängder saknar ordning och upprepning, sekvenser har ordning och termer kan upprepas.

Sammanfattning

En sekvens är en ordnad följd av objekt där ordningen är avgörande. I matematiken används sekvenser för att beskriva både ändliga listor och oändliga följder av tal eller andra objekt. För oändliga sekvenser anger man vanligtvis en formel för allmäntermen an. Viktiga begrepp är konvergens, begränsning, monotonicitet och subsekvenser.

Typer av sekvenser

Aritmetiska progressionssteg (AP)

I en aritmetisk progression är skillnaden mellan en term och den föregående termen alltid en konstant.

Exempel: 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 och så vidare.

Så om man tar den första termen som a och den konstanta skillnaden som D, så är den allmänna formeln för aritmetisk sekvens a n = a + ( n - 1 ) D {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D} {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D}, där n är antalet termer.

Geometriska progressionslinjer (GP)

I en geometrisk progression är förhållandet mellan en term och den föregående termen alltid konstant.

Exempel: 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 och så vidare.

Så om man antar att a är den första termen och r förhållandet, så är den allmänna formeln för geometrisk progression a n = a r n - 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}} {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}, där n är antalet termer.

Harmoniska progressioner (HP)

I en harmonisk progression är skillnaden mellan den reciproka av en term och den reciproka av den föregående termen en konstant.

Exempel: 3 , 1.5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 / 1,5 ) - ( 1 / 3 ) = 1 3 , ( 1 / 1 ) - ( 1 / 1,5 ) = 1 3 , ( 1 / 3 4 ) - ( 1 / 1 ) = 1 3 {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}}},\,\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}} {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}, och så vidare.



 

Serie

En serie är summan av alla termer i en sekvens.

Den allmänna formeln för att beräkna summan av aritmetiska sekvenser är följande

S = n 2 [ 2 a + ( n - 1 ) d ] {\displaystyle S={\frac {n}{2}}}[2a+(n-1)d]} {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}

En geometrisk sekvens är S = a 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}} {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}, om sekvensen är oändlig, och S = a ( 1 - r n ) 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}} {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}, om den är ändlig.

Här är a den första termen, d den gemensamma skillnaden i aritmetisk ordning, r förhållandet i geometrisk ordning och n antalet termer.



 

Relaterade sidor

  • Cauchysekvens
  • Gräns för en sekvens
  • Serie
 

Frågor och svar

F: Vad är en sekvens?


S: En sekvens är en uppsättning relaterade händelser, rörelser eller föremål som följer varandra i en viss ordning.

F: Hur används den?


S: Den används inom matematik och andra discipliner. I vanlig användning betyder det en serie händelser som följer på varandra.

F: Vilka två typer av sekvenser finns det?


S: De två typerna av sekvenser är ändliga sekvenser, som har ett slut, och oändliga sekvenser, som aldrig tar slut.

F: Kan du ge ett exempel på en oändlig sekvens?


S: Ett exempel på en oändlig sekvens är sekvensen av alla jämna tal som är större än 0. Denna sekvens tar aldrig slut; den börjar med 2, 4, 6 och så vidare.

F: Hur kan vi skriva ner en oändlig sekvens?


S: Vi kan skriva ner en oändlig sekvens genom att skriva en regel för att hitta saken på vilken plats som helst. Regeln ska tala om hur man hittar saken på den n:e platsen där n kan vara vilket naturligt tal som helst.

Fråga: Vad står (a_n) för när man skriver ner en sekvens?


S: (a_n) står för den n:e termen i sekvensen.


Sök
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3