Följd | en uppsättning relaterade händelser, rörelser eller föremål som följer varandra i en viss ordning

En sekvens är ett ord som betyder "en uppsättning relaterade händelser, rörelser eller föremål som följer på varandra i en viss ordning".

Den används inom matematik och andra discipliner. I vanlig användning betyder det en serie händelser som följer på varandra. Inom matematiken består en sekvens av flera saker som sätts samman, en efter en. Det spelar roll i vilken ordning sakerna är placerade. Till exempel är både (Blå, röd, gul) och (gul, blå, röd) sekvenser, men de är inte samma sak. Sekvenser som består av tal kallas också för progressionsföljder.

Det finns två typer av sekvenser. Den ena typen är ändliga sekvenser, som har ett slut. Till exempel är (1, 2, 3, 4, 5) en ändlig sekvens. Den andra sorten är oändliga sekvenser, vilket innebär att de fortsätter och aldrig tar slut. Ett exempel på en sekvens som är oändlig är sekvensen av alla jämna tal, större än 0. Denna sekvens tar aldrig slut: den börjar med 2, 4, 6 och så vidare, och man kan alltid fortsätta att nämna jämna tal.

Om en sekvens är ändlig är det lätt att säga vad den är: man kan helt enkelt skriva ner alla saker i sekvensen. Detta fungerar inte för en oändlig sekvens. Så ett annat sätt att skriva ner en sekvens är att skriva en regel för att hitta en sak på vilken plats som helst. Regeln bör tala om hur man får fram tinget på den n:e platsen, där n kan vara ett valfritt naturligt tal. Detta innebär att en sekvens egentligen är en speciell typ av funktion med naturliga tal som domän. Vi skriver ibland en sekvens som ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} $(a_{n})$ , där a n {\displaystyle a_{n}}} $a_{n}$ står för den n:e termen i sekvensen.

Regeln kan till exempel vara att det som står på n:e plats är talet 2×n (2 gånger n). Detta säger oss vad hela sekvensen är, även om den aldrig slutar. Det första talet är 2×1, vilket är 2. Det andra talet är 2×2, eller 4. Om vi vill veta vad det 100:e talet är kan vi helt enkelt räkna ut 2×100 och få 200. Oavsett vilken sak i sekvensen vi vill ha kan regeln berätta vad det är.

Typer av sekvenser

Aritmetiska progressionssteg (AP)

I en aritmetisk progression är skillnaden mellan en term och den föregående termen alltid en konstant.

Exempel: $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 och så vidare.

Så om man tar den första termen som a och den konstanta skillnaden som D, så är den allmänna formeln för aritmetisk sekvens $a_{n}=a+(n-1)D$ , där n är antalet termer.

Geometriska progressionslinjer (GP)

I en geometrisk progression är förhållandet mellan en term och den föregående termen alltid konstant.

Exempel: $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 och så vidare.

Så om man antar att a är den första termen och r förhållandet, så är den allmänna formeln för geometrisk progression $a_{n}=ar^{n-1}$ , där n är antalet termer.

Harmoniska progressioner (HP)

I en harmonisk progression är skillnaden mellan den reciproka av en term och den reciproka av den föregående termen en konstant.

Exempel: $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

$(1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}$ , och så vidare.

Serie

En serie är summan av alla termer i en sekvens.

Den allmänna formeln för att beräkna summan av aritmetiska sekvenser är följande

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

En geometrisk sekvens är $S={\tfrac {a}{1-r}}$ , om sekvensen är oändlig, och $S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ , om den är ändlig.

Här är a den första termen, d den gemensamma skillnaden i aritmetisk ordning, r förhållandet i geometrisk ordning och n antalet termer.

Relaterade sidor

Cauchysekvens
Gräns för en sekvens
Serie

Frågor och svar

F: Vad är en sekvens?

S: En sekvens är en uppsättning relaterade händelser, rörelser eller föremål som följer varandra i en viss ordning.

F: Hur används den?

S: Den används inom matematik och andra discipliner. I vanlig användning betyder det en serie händelser som följer på varandra.

F: Vilka två typer av sekvenser finns det?

S: De två typerna av sekvenser är ändliga sekvenser, som har ett slut, och oändliga sekvenser, som aldrig tar slut.

F: Kan du ge ett exempel på en oändlig sekvens?

S: Ett exempel på en oändlig sekvens är sekvensen av alla jämna tal som är större än 0. Denna sekvens tar aldrig slut; den börjar med 2, 4, 6 och så vidare.

F: Hur kan vi skriva ner en oändlig sekvens?

S: Vi kan skriva ner en oändlig sekvens genom att skriva en regel för att hitta saken på vilken plats som helst. Regeln ska tala om hur man hittar saken på den n:e platsen där n kan vara vilket naturligt tal som helst.

Fråga: Vad står (a_n) för när man skriver ner en sekvens?

S: (a_n) står för den n:e termen i sekvensen.