Zenos paradoxer

Akilles och sköldpaddan

I paradoxen Akilles och sköldpaddan tävlar Akilles med sköldpaddan. Akilles ger sköldpaddan ett försprång på till exempel 100 meter. Anta att varje tävlande börjar springa med en konstant hastighet, en mycket snabb och en mycket långsam. Efter en viss bestämd tid kommer Akilles att ha sprungit 100 meter, vilket innebär att han har kommit fram till sköldpaddans startpunkt. Under denna tid har den långsammare sköldpaddan sprungit en mycket kortare sträcka. Det kommer sedan att ta Achilles ytterligare en viss tid att springa den sträckan, och då har sköldpaddan kommit längre. Det kommer sedan att ta ännu mer tid för Akilles att nå denna tredje punkt, medan sköldpaddan återigen går framåt. När Akilles når en plats där sköldpaddan har varit har han alltså fortfarande längre tid kvar att gå. Eftersom det finns ett oändligt antal punkter som Akilles måste nå där sköldpaddan redan har varit, kan han därför aldrig hinna ikapp sköldpaddan.

Dikotomiparadoxen

Anta att någon vill ta sig från punkt A till punkt B. Först måste han eller hon förflytta sig halvvägs. Sedan måste de gå halva den återstående vägen. Om man fortsätter på detta sätt kommer det alltid att finnas en liten sträcka kvar, och målet kommer aldrig att nås. Det kommer alltid att finnas ytterligare ett tal att lägga till i en serie som 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Så rörelse från en punkt A till en annan punkt B ses som en omöjlighet.

Kommentarer

Det är här Zenos paradox ligger: båda bilderna av verkligheten kan inte vara sanna samtidigt. Därför är det antingen: 1. Det är något fel på vårt sätt att uppfatta tidens kontinuerliga natur. 2. I verkligheten finns det inget sådant som diskreta eller inkrementella mängder tid, avstånd eller kanske något annat för den delen, eller 3. 3. Det finns en tredje bild av verkligheten som förenar de två bilderna - den matematiska och den med sunt förnuft eller filosofiska - som vi ännu inte har verktygen för att fullt ut förstå.

Förslag till lösningar

Få människor skulle satsa på att sköldpaddan skulle vinna loppet mot en atlet. Men vad är det för fel på argumentet?

När man börjar addera termerna i serien 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + .... kan man märka att summan närmar sig 1 alltmer och aldrig kommer att överstiga 1. Aristoteles (som är källan till mycket av det vi vet om Zeno) noterade att när avståndet (i dikotomiparadoxen) minskar, blir tiden för att resa varje sträcka oerhört mycket mindre och mindre. Före 212 f.Kr. hade Archimedes utvecklat en metod för att få fram ett ändligt svar på summan av oändligt många termer som blir allt mindre (t.ex. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Den moderna kalkylen uppnår samma resultat med hjälp av mer rigorösa metoder.

Vissa matematiker, som w:Carl Boyer, anser att Zenos paradoxer helt enkelt är matematiska problem som modern kalkyl ger en matematisk lösning. Zenos frågor förblir dock problematiska om man närmar sig en oändlig serie steg, ett steg i taget. Detta kallas för en superuppgift. Kalkyl handlar faktiskt inte om att addera tal ett i taget. I stället bestämmer man det värde (som kallas gränsvärde) som additionen närmar sig.

Se engelska Wikipedia-artiklar

• Zenos paradoxer
• Parabelns kvadratur
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsons lampa