Konstant funktion

Grundläggande egenskaper

Formellt sett har en konstant funktion f(x):R→R formen f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Vanligtvis skriver vi y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} eller bara y = c {\displaystyle y=c} .

• Funktionen y=c har 2 variabler x och у och 1 konstant c. (I denna form av funktionen ser vi inte x, men den finns där.)

• Konstanten c är ett verkligt tal. Innan vi arbetar med en linjär funktion ersätter vi c med ett verkligt tal.
• Domänen eller ingången till y=c är R. Alla reella tal x kan alltså ingå. Utgången är dock alltid värdet c.
• Området för y=c är också R. Men eftersom resultatet alltid är värdet av c är kodområdet bara c.

Exempel: Funktionen y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} eller bara y = 4 {\displaystyle y=4}är den specifika konstanta funktionen där utgångsvärdet är c = 4 {\displaystyle c=4} . Domänen är alla reella tal ℝ. Koddomänen är bara {4}. Nämligen y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,.... Oavsett vilket värde på x som matas in är resultatet "4".

• Grafen för den konstanta funktionen y = c {\displaystyle y=c} är en horisontell linje i planet som går genom punkten ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Om c≠0 är konstantfunktionen y=c ett polynom i en variabel x av grad noll.

• Y-interceptet för denna funktion är punkten (0,c).
• Denna funktion har ingen x-intercept. Det innebär att den inte har någon rot eller nollpunkt. Den korsar aldrig x-axeln.

• Om c = 0 har vi y = 0. Detta är nollpolynomet eller en identiskt nollfunktion. Varje verkligt tal x är en rot. Grafen för y=0 är x-axeln i planet.
• En konstant funktion är en jämn funktion, så y-axeln är en symmetriaxel för varje konstant funktion.

Derivat av en konstant funktion

I det sammanhang där den definieras mäter derivatan av en funktion förändringshastigheten för funktionens (utgångs)värden i förhållande till förändringen av ingångsvärdena. En konstant funktion förändras inte, så dess derivata är 0. Detta skrivs ofta:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Exempel: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} äkonstant funktion. Derivatan av y är den identiskt nollställda funktionen y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Det omvända (motsatsen) är också sant. Om en funktions derivata är noll överallt, är funktionen en konstant funktion.

Matematiskt skriver vi dessa två påståenden:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\forall x\in \mathbb {R} }

Generalisering

En funktion f : A → B är en konstant funktion om f(a) = f(b) för varje a och b i A.

Exempel

Ett exempel från den verkliga världen: En butik där alla varor säljs för 1 euro. Funktionens domän är artiklarna i butiken. Kodområdet är 1 euro.

Exempel: Låt f : A → B där A={X,Y,Z,W} och B={1,2,3} och f(a)=3 för varje a∈A. Då är f en konstant funktion.

Exempel: z(x,y)=2 är den konstanta funktionen från A=ℝ² till B=ℝ där varje punkt (x,y)∈ℝ² motsvarar värdet z=2. Grafen för denna konstanta funktion är det horisontella planet (parallellt med x0y-planet) i det tredimensionella rummet som passerar genom punkten (0,0,2).

Exempel: Polarfunktionen ρ(φ)=2,5 är den konstanta funktion som avbildar varje vinkel φ till radien ρ=2,5. Grafen för denna funktion är cirkeln med radien 2,5 i planet.

Andra egenskaper

Det finns andra egenskaper hos konstanta funktioner. Se Konstant funktion på engelska Wikipedia

Relaterade sidor

• Funktion
• Polynomiell