Polynom | ett slags matematiskt uttryck

Inom matematiken är ett polynom ett slags matematiskt uttryck. Det är en summa av flera matematiska termer som kallas monomer. Det vill säga ett tal, en variabel eller en produkt av ett tal och flera variabler. När ett algebraiskt uttryck innehåller bokstäver blandat med siffror och aritmetik, som $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ finns det en god chans att det är ett polynom. Polynomier lärs ut i algebra, som är en ingångskurs till alla tekniska ämnen. Matematiker, vetenskapsmän och ingenjörer använder alla polynomier för att lösa problem.

När bokstäver, siffror och aritmetiska symboler förekommer tillsammans i algebra är det meningen att bokstäverna står för variabler, som antingen är egna symboler, siffror som ännu inte är kända eller siffror som förändras under problemets gång (t.ex. tid). Ett polynom är ett algebraiskt uttryck där den enda aritmetiken är addition, subtraktion, multiplikation och exponentiering av hela tal. Om svårare operationer används, t.ex. division eller kvadratrötter, är detta algebraiska uttryck inte ett polynom. Polynom är ofta lättare att använda än andra algebraiska uttryck.

Polynom används ofta för att bilda polynomiska ekvationer, till exempel ekvationen $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0$ , eller polynomialfunktioner som $f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ .

Terminologi

Givet en serie av n {\displaystyle n} tal $k_{0},\ldots ,k_{n}$ har ett polynom med variabeln x {\displaystyle x} i allmänhet formen $k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}$ . De delar av ett polynom som skiljs åt med plus- (eller minustecken) kallas "termer", och tecknen är i sig själva en del av termen.

(I ett polynom är multiplikation "förstås". Det betyder till exempel att 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ betyder två gånger x {\displaystyle x} , eller två gånger x {\displaystyle x} . Så om x {\displaystyle x} är 7 {\displaystyle 7} $7$ så är 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ 14 {\displaystyle 14} $14$ .)

I polynomet $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ , termerna är:

7 x 4 {\displaystyle 7x^{4}} $7x^{4}$

( - 3 ) x 3 {\displaystyle (-3)x^{3}} $(-3)x^{3}$

+ 19 x 2 {\displaystyle +19x^{2}} $+19x^{2}$

( - 8 ) x {\displaystyle (-8)x} $(-8)x$

+ 197 {\displaystyle +197} $+197$

Om ett polynom har endast en term kallas det för ett monomium. Monomer är också byggstenar för polynom. Till exempel är 5 x 3 {\displaystyle 5x^{3}} $5x^{3}$ ett monomium.

I en term kallas multiplikatorn som ligger framför en koefficient för "koefficient". Bokstaven kallas "okänd" eller "variabel", och den upphöjda siffran efter bokstaven kallas exponent. På en miniräknare och vissa datorer används symbolen ^ i stället för att sätta en exponent ovanför och till höger om variabeln, så att monominet ovan kan skrivas som 5 x {\displaystyle 5x}. $5x$ ^ 3 {\displaystyle 3} $3$ .

Ett polynom med exakt två termer kallas binom. Ett polynom med exakt tre termer kallas "trinom". Inom en term:

En term som inte innehåller några variabler kallas "konstant term".
En term med en variabel men utan exponent kallas "term av första graden" eller "linjär term".
En term med en variabel som har exponenten 2 {\displaystyle 2} $2$ kallas "term av andra graden" eller "kvadratisk term". En "kvadratisk ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 2 {\displaystyle 2} $2$ .
En term med en variabel som har exponent 3 {\displaystyle 3} $3$ kallas "term av tredje graden" eller "kubisk term". En "kubisk ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 3 {\displaystyle 3} $3$ .
En term med en variabel som har exponenten 4 {\displaystyle 4} $4$ kallas "term av fjärde graden" eller "kvartärterm". En "kvartsekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 4 {\displaystyle 4} $4$ .
En term med en variabel som har exponent 5 {\displaystyle 5} $5$ kallas "term av femte graden" eller "quintisk term". En "kvintlig ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 5 {\displaystyle 5} $5$ .
En term med en variabel som har exponent 6 {\displaystyle 6} $6$ kallas "term av sjätte graden" eller "sextiotalsterm". En "sextiotalsekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 6 {\displaystyle 6} $6$ .

Relaterade sidor

Examen (matematik)
Grundläggande sats i algebra
Satsen om polynomiala återstoder
Polynomisk rot
Kvartärsekvation
Galoisteori

Frågor och svar

F: Vad är ett polynom?

S: Ett polynom är ett slags matematiskt uttryck som är en summa av flera matematiska termer som kallas monomer, vilka är tal, variabler eller produkter av tal och flera variabler.

F: Hur använder matematiker, forskare och ingenjörer polynomier?

S: Matematiker, vetenskapsmän och ingenjörer använder alla polynomier för att lösa problem.

F: Vilka operationer kan användas i ett algebraiskt uttryck för att göra det till ett polynom?

S: För att ett algebraiskt uttryck ska betraktas som ett polynom är de enda aritmetiska operationer som kan användas addition, subtraktion, multiplikation och exponentiering av hela tal. Om svårare operationer som division eller kvadratrötter används anses det algebraiska uttrycket inte vara ett polynom.

F: Vilken typ av ekvationer kan bildas med hjälp av polynom?

S: Polynom används ofta för att bilda både polynomiska ekvationer (t.ex. 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0) och polynomiska funktioner (t.ex. f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197).

F: Vilket ämne måste man förstå för att kunna arbeta med polynom?

S: För att kunna arbeta med polynom måste man förstå algebra, som är en ingångskurs till alla tekniska ämnen.