Hoppa till innehållet
Hem

Polynom

En introduktion till polynom: definition, delar, klassifikation, användningsområden och samband med ekvationer och funktioner inom algebra och tillämpad matematik.

Författare: Skapad: Uppdaterad:

Översikt

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som bildas genom en ändlig summa av termer där varje term är en konstant multiplicerad med en variabel upphöjd till ett icke-negativt heltal. Polynom förekommer i grunderna för matematiken och i många tillämpningar inom naturvetenskap och teknik. I enklaste fall består ett polynom bara av en konstant eller en variabel; i mer komplicerade fall kan det vara en summa av flera led såsom 3x^2 + 2x − 5. Polynom utgör också grunden för begrepp som polynomiska ekvationer och polynomialfunktioner, som båda används för att beskriva samband mellan variabler.

{\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Bildgalleri

1 Bild
Fonction de Sophie Germain
en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

Grundläggande beståndsdelar

Ett polynom består av begrepp som ofta definieras tidigt i algebra. De viktigaste delarna är:

  • Monom (eller term): en produkt av en konstant och en eller flera variabler upphöjda till heltalsexponenter; se också monomer för relaterat språkbruk.
  • Koefficient: konstanten som multiplicerar variabeln i en term.
  • Variabel: symbolen (t.ex. x eller t) som representerar ett tal som kan variera; jämför variabel och dess tolkningar.
  • Grad: det största heltalet som en variabel är upphöjd till i polynomet; det bestämmer mycket av polynomets beteende.
  • Konstantterm: en term utan variabler, motsvarar polynomets värde när alla variabler är noll.

Reglerna för vad som får ingå i ett polynom är enkla: tillåtna operationer är addition, subtraktion, multiplikation och exponentiering med heltal. Operationer som division med variabler eller rotutdragning leder ofta bort från polynombegreppet.

{\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}

Klassificering och exempel

Polynom kan delas upp efter grad och antal variabler. Vanliga beteckningar är:

  • Konstantpolynom: grad 0, t.ex. 5.
  • Linjära polynom: grad 1, t.ex. 2x + 3.
  • Polynom av andra eller högre grad: kvadratiska (grad 2), kubiska (grad 3) osv., t.ex. x^2 − 4x + 4.
  • Flervariabla polynom: innehåller flera variabler, till exempel 3xy^2 − 2x + 1.

Exempel på centrala begrepp är polynomiska ekvationer, där ett polynom sätts lika med noll, och polynomialfunktioner, som definierar en funktion f(x) via ett polynom. Både polynomiska ekvationer och polynomialfunktioner spelar stor roll i teori och tillämpning.

{\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Användningar och betydelse

Polynom används brett: i grundläggande algebraundervisning, i analys som approximationsfunktioner (till exempel Taylorpolynom), i numeriska metoder, i signalbehandling och inom ingenjörsvetenskap. De är lätta att manipulera algebraiskt och utgör ett enkelt men kraftfullt verktyg för att modellera samband. Faktorisering av polynom används för att hitta nollställen (rötter), vilket är viktigt för att lösa ekvationer och för att studera systembeteende.

Historia, algebraiska samband och vidare perspektiv

Idén att använda polynom är mycket gammal och finns i flera tidiga kulturer. Inom modern algebra studeras polynomringar och deras egenskaper, vilket kopplar ämnet till områden som kroppar, ringteori och algebraisk geometri. Polynom är också nära besläktade med rationella funktioner (kvot av två polynom) och med oändliga potensserier, där den senare kan ses som ett gränsfall av polynom med godkända konvergensegenskaper.

För den som vill läsa vidare finns översiktstexter och undervisningsmaterial inom matematiken och algebra, samt specialiserade källor om numeriska metoder och algebraiska strukturer. Begrepp som monom, termer och variabler återfinns i många introduktioner till ämnet; se gärna vidare under rubriker som termer, tidsberoende variabler eller fördjupningar om variabelbegreppet.

Terminologi

Givet en serie av n {\displaystyle n}n tal k 0 , ... , k n {\displaystyle k_{0},\ldots ,k_{n}}} {\displaystyle k_{0},\ldots ,k_{n}}har ett polynom med variabeln x {\displaystyle x}x i allmänhet formen k n x n + ... + k 0 x 0 {\displaystyle k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}}} {\displaystyle k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}}. De delar av ett polynom som skiljs åt med plus- (eller minustecken) kallas "termer", och tecknen är i sig själva en del av termen.

(I ett polynom är multiplikation "förstås". Det betyder till exempel att 2 x {\displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} betyder två gånger x {\displaystyle x}x , eller två gånger x {\displaystyle x}x . Så om x {\displaystyle x}x är 7 {\displaystyle 7} {\displaystyle 7}så är 2 x {\displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} 14 {\displaystyle 14}{\displaystyle 14} .)

I polynomet 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}, termerna är:

7 x 4 {\displaystyle 7x^{4}} {\displaystyle 7x^{4}}

( - 3 ) x 3 {\displaystyle (-3)x^{3}} {\displaystyle (-3)x^{3}}

+ 19 x 2 {\displaystyle +19x^{2}} {\displaystyle +19x^{2}}

( - 8 ) x {\displaystyle (-8)x} {\displaystyle (-8)x}

+ 197 {\displaystyle +197} {\displaystyle +197}

Om ett polynom har endast en term kallas det för ett monomium. Monomer är också byggstenar för polynom. Till exempel är 5 x 3 {\displaystyle 5x^{3}}{\displaystyle 5x^{3}} ett monomium.

I en term kallas multiplikatorn som ligger framför en koefficient för "koefficient". Bokstaven kallas "okänd" eller "variabel", och den upphöjda siffran efter bokstaven kallas exponent. På en miniräknare och vissa datorer används symbolen ^ i stället för att sätta en exponent ovanför och till höger om variabeln, så att monominet ovan kan skrivas som 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}^ 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} .

Ett polynom med exakt två termer kallas binom. Ett polynom med exakt tre termer kallas "trinom". Inom en term:

  • En term som inte innehåller några variabler kallas "konstant term".
  • En term med en variabel men utan exponent kallas "term av första graden" eller "linjär term".
  • En term med en variabel som har exponenten 2 {\displaystyle 2}{\displaystyle 2} kallas "term av andra graden" eller "kvadratisk term". En "kvadratisk ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 2 {\displaystyle 2}{\displaystyle 2} .
  • En term med en variabel som har exponent 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} kallas "term av tredje graden" eller "kubisk term". En "kubisk ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} .
  • En term med en variabel som har exponenten 4 {\displaystyle 4}{\displaystyle 4} kallas "term av fjärde graden" eller "kvartärterm". En "kvartsekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 4 {\displaystyle 4}{\displaystyle 4} .
  • En term med en variabel som har exponent 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} kallas "term av femte graden" eller "quintisk term". En "kvintlig ekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 5 {\displaystyle 5}{\displaystyle 5} .
  • En term med en variabel som har exponent 6 {\displaystyle 6}{\displaystyle 6} kallas "term av sjätte graden" eller "sextiotalsterm". En "sextiotalsekvation" är en ekvation där den största exponenten för någon term är 6 {\displaystyle 6}{\displaystyle 6} .


 

Relaterade sidor

  • Examen (matematik)
  • Grundläggande sats i algebra
  • Satsen om polynomiala återstoder
  • Polynomisk rot
  • Kvartärsekvation
  • Galoisteori
 

Frågor och svar

F: Vad är ett polynom?

S: Ett polynom är ett slags matematiskt uttryck som är en summa av flera matematiska termer som kallas monomer, vilka är tal, variabler eller produkter av tal och flera variabler.

F: Hur använder matematiker, forskare och ingenjörer polynomier?

S: Matematiker, vetenskapsmän och ingenjörer använder alla polynomier för att lösa problem.

F: Vilka operationer kan användas i ett algebraiskt uttryck för att göra det till ett polynom?

S: För att ett algebraiskt uttryck ska betraktas som ett polynom är de enda aritmetiska operationer som kan användas addition, subtraktion, multiplikation och exponentiering av hela tal. Om svårare operationer som division eller kvadratrötter används anses det algebraiska uttrycket inte vara ett polynom.

F: Vilken typ av ekvationer kan bildas med hjälp av polynom?

S: Polynom används ofta för att bilda både polynomiska ekvationer (t.ex. 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0) och polynomiska funktioner (t.ex. f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197).

F: Vilket ämne måste man förstå för att kunna arbeta med polynom?

S: För att kunna arbeta med polynom måste man förstå algebra, som är en ingångskurs till alla tekniska ämnen.

Relaterade artiklar

Författare

AlegsaOnline.com Polynom

URL: https://sv.alegsaonline.com/art/77872

Dela