Översikt

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som bildas genom en ändlig summa av termer där varje term är en konstant multiplicerad med en variabel upphöjd till ett icke-negativt heltal. Polynom förekommer i grunderna för matematiken och i många tillämpningar inom naturvetenskap och teknik. I enklaste fall består ett polynom bara av en konstant eller en variabel; i mer komplicerade fall kan det vara en summa av flera led såsom 3x^2 + 2x − 5. Polynom utgör också grunden för begrepp som polynomiska ekvationer och polynomialfunktioner, som båda används för att beskriva samband mellan variabler.

{\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Grundläggande beståndsdelar

Ett polynom består av begrepp som ofta definieras tidigt i algebra. De viktigaste delarna är:

  • Monom (eller term): en produkt av en konstant och en eller flera variabler upphöjda till heltalsexponenter; se också monomer för relaterat språkbruk.
  • Koefficient: konstanten som multiplicerar variabeln i en term.
  • Variabel: symbolen (t.ex. x eller t) som representerar ett tal som kan variera; jämför variabel och dess tolkningar.
  • Grad: det största heltalet som en variabel är upphöjd till i polynomet; det bestämmer mycket av polynomets beteende.
  • Konstantterm: en term utan variabler, motsvarar polynomets värde när alla variabler är noll.

Reglerna för vad som får ingå i ett polynom är enkla: tillåtna operationer är addition, subtraktion, multiplikation och exponentiering med heltal. Operationer som division med variabler eller rotutdragning leder ofta bort från polynombegreppet.

{\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}

Klassificering och exempel

Polynom kan delas upp efter grad och antal variabler. Vanliga beteckningar är:

  • Konstantpolynom: grad 0, t.ex. 5.
  • Linjära polynom: grad 1, t.ex. 2x + 3.
  • Polynom av andra eller högre grad: kvadratiska (grad 2), kubiska (grad 3) osv., t.ex. x^2 − 4x + 4.
  • Flervariabla polynom: innehåller flera variabler, till exempel 3xy^2 − 2x + 1.

Exempel på centrala begrepp är polynomiska ekvationer, där ett polynom sätts lika med noll, och polynomialfunktioner, som definierar en funktion f(x) via ett polynom. Både polynomiska ekvationer och polynomialfunktioner spelar stor roll i teori och tillämpning.

{\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Användningar och betydelse

Polynom används brett: i grundläggande algebraundervisning, i analys som approximationsfunktioner (till exempel Taylorpolynom), i numeriska metoder, i signalbehandling och inom ingenjörsvetenskap. De är lätta att manipulera algebraiskt och utgör ett enkelt men kraftfullt verktyg för att modellera samband. Faktorisering av polynom används för att hitta nollställen (rötter), vilket är viktigt för att lösa ekvationer och för att studera systembeteende.

Historia, algebraiska samband och vidare perspektiv

Idén att använda polynom är mycket gammal och finns i flera tidiga kulturer. Inom modern algebra studeras polynomringar och deras egenskaper, vilket kopplar ämnet till områden som kroppar, ringteori och algebraisk geometri. Polynom är också nära besläktade med rationella funktioner (kvot av två polynom) och med oändliga potensserier, där den senare kan ses som ett gränsfall av polynom med godkända konvergensegenskaper.

För den som vill läsa vidare finns översiktstexter och undervisningsmaterial inom matematiken och algebra, samt specialiserade källor om numeriska metoder och algebraiska strukturer. Begrepp som monom, termer och variabler återfinns i många introduktioner till ämnet; se gärna vidare under rubriker som termer, tidsberoende variabler eller fördjupningar om variabelbegreppet.