Korsprodukt (vektorprodukt) – definition, egenskaper och användning

Eftersom korsprodukten är en vektoroperation är den extremt viktig inom alla vetenskaper (särskilt fysik), teknik och matematik. Ett viktigt exempel på korsprodukt är vridmoment eller moment. Ett annat viktigt användningsområde är magnetfältet.

Korsprodukten av a → {\displaystyle {\vec {a}}} och b → {\displaystyle {\vec {b}}} är en vektor som vi kallar c → {\displaystyle {\vec {c}}} :

c → = a → × b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}}

Storleken på c → {\displaystyle {\vec {c}}}} ges då av:

c = | c → | = | a → | | b → | sin θ = a b sin θ {\displaystyle c=|{\vec {c}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \theta =ab\sin \theta } ,

där θ {\displaystyle \theta } är vinkeln mellan a → {\displaystyle {\vec {a}}} och b → {\displaystyle {\vec {b}}} . Vektorn a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} är vinkelrät mot både a → {\displaystyle {\vec {a}}} och b → {\displaystyle {\vec {b}}} . Riktningen för a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} bestäms genom en variant av högerregeln. Om du håller din högra hand så som visas i figuren är tummen i riktning mot c → {\displaystyle {\vec {c}}} , pekfingret pekar i riktning mot a → {\displaystyle {\vec {a}}} och ditt andra finger pekar i riktning mot b → {\displaystyle {\vec {b}}} . Om vinkeln mellan ditt pekfinger och ditt andra finger är större än 180° måste du vända handen upp och ner.

Liksom alla matematiska operationer kan korsprodukten göras på ett enkelt sätt.

Två dimensioner

Om
a → = ⟨ a 1 , a 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\langle a_{1},a_{2}\rangle }
 och
b → = ⟨ b 1 , b 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\langle b_{1},b_{2}\rangle }
 då
a → × b → = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}}

 eller

a → × b → = c → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}}
 och
c → = ⟨ 0 , 0 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {\vec {c}}=\langle 0,0,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}}

k ^ {\displaystyle {\hat {k}}}} är bara en symbol som säger att vår nya vektor pekar uppåt (i z-riktningen). Om du "korsar" två vektorer som båda befinner sig i x-y-planet kommer produkten alltid att vara vinkelrät mot båda vektorerna, och om båda vektorerna befinner sig i x-y-planet är det enda sättet att vara vinkelrät mot båda vektorerna att vara i z-riktningen. Om värdet av a 1 b 2 - a 2 b 1 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} är positivt pekar den ut ur sidan; om värdet är negativt pekar den in i sidan.

Tre dimensioner

Om
a → = ⟨ a 1 , a 2 , a 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle }
 och
b → = ⟨ b 1 , b 2 , b 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\langle b_{1},b_{2},b_{3}\rangle }
 då
a → × b → = ⟨ a 2 b 3 - a 3 b 2 , a 3 b 1 - a 1 b 3 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=\langle a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle }

a → × b → = - b → × a → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}

a → × ( b → + c → ) = a → × b → + a → × c → {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}}}

c ( a → × b → ) = ( c a → ) × b → = a → × ( c b → ) {\displaystyle c({\vec {a}}\times {\vec {b}})=(c{\vec {a}})\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times (c{\vec {b}})}