Vektor – definition, riktning och magnitud | Matematik & fysik

• John går 20 meter norrut. Riktningen "norr" tillsammans med avståndet "20 meter" är en vektor.
• Ett äpple faller ner med 10 meter per sekund. Riktningen "nedåt" i kombination med hastigheten "10 meter per sekund" är en vektor. Denna typ av vektor kallas också hastighet.

• Avståndet mellan två platser är 10 kilometer. Detta avstånd är inte en vektor eftersom det inte innehåller någon riktning.
• Antalet frukter i en låda är inte en vektor.
• En person som pekar är inte en vektor eftersom det bara finns en riktning. Det finns ingen storlek (avståndet från personens finger till en byggnad, till exempel).
• Längden på ett objekt.
• En bil kör i 100 kilometer i timmen. Detta beskriver inte en vektor, eftersom det bara finns en storlek, men ingen riktning.

• Förskjutning är en vektor. Förskjutning är den sträcka som något rör sig i en viss riktning. Ett mått på enbart avstånd är en skalär.
• En kraft som innehåller en riktning är en vektor.
• Hastigheten är en vektor, eftersom den är en hastighet i en viss riktning.
• Acceleration är hastighetsförändringen. Ett föremål accelererar om det ändrar hastighet eller riktning.

Lägg till vektorer på papper med hjälp av huvud till svans-metoden

Metoden Head to Tail för att addera vektorer är användbar för att göra en uppskattning på papper av resultatet av att addera två vektorer. Så här gör du:

• Varje vektor ritas som en pil med en viss längd bakom sig, där varje längdenhet på pappret representerar en viss storlek på vektorn.
• Rita nästa vektor, med den andra vektorns svans (ände) vid den första vektorns huvud (framsida).
• Upprepa för alla ytterligare vektorer: Dra nästa vektors svans i huvudet på den föregående vektorn.
• Dra en linje från den första vektorns svans till den sista vektorns huvud - det är resultanten (summan) av alla vektorerna.

Det kallas "Head to Tail"-metoden, eftersom varje huvud från den föregående vektorn leder till svansen i nästa vektor.

Användning av komponentformulär

^{[behöver förklaras ]}

Att använda komponentformen för att addera två vektorer innebär bokstavligen att man adderar vektorernas komponenter för att skapa en ny vektor. Låt till exempel a och b vara två tvådimensionella vektorer. Dessa vektorer kan skrivas i termer av deras komponenter.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Anta att c är summan av dessa två vektorer, så att c = a + b. Detta innebär att c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Här är ett exempel på addition av två vektorer med hjälp av deras komponentformer:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}}

Den här metoden fungerar för alla vektorer, inte bara tvådimensionella.

Med hjälp av punktprodukten

Punktprodukten är en metod för att multiplicera vektorer. Den ger en skalär. Den använder komponentform:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\\\\\&=2+12\&=14\end{aligned}}}}

Användning av korsprodukten

Korsprodukten är en annan metod för att multiplicera vektorer. Till skillnad från punktprodukten ger den en vektor. Med hjälp av komponentformen:

a × b = | a | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Här är | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} betyder längden på en {\displaystyle \mathbf {a} } och n {\displaystyle \mathbf {n} } är enhetsvektorn i rät vinkel mot både en {\displaystyle \mathbf {a} } och b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Multiplicering med en skalär

För att multiplicera en vektor med en skalär (ett normalt tal) multiplicerar du talet med varje komponent i vektorn:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Ett exempel på detta är

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\\\&=(15,20)\end{aligned}}}

• Analytisk geometri
• Nollvektor
• Enhetsvektor
• Vektorfält
• Vektorgrafik
• Vektorrum
• Vektorsubrymd