Vektor | matematiskt objekt

Exempel på vektorer

• John går 20 meter norrut. Riktningen "norr" tillsammans med avståndet "20 meter" är en vektor.
• Ett äpple faller ner med 10 meter per sekund. Riktningen "nedåt" i kombination med hastigheten "10 meter per sekund" är en vektor. Denna typ av vektor kallas också hastighet.

 

Exempel på skalarer

• Avståndet mellan två platser är 10 kilometer. Detta avstånd är inte en vektor eftersom det inte innehåller någon riktning.
• Antalet frukter i en låda är inte en vektor.
• En person som pekar är inte en vektor eftersom det bara finns en riktning. Det finns ingen storlek (avståndet från personens finger till en byggnad, till exempel).
• Längden på ett objekt.
• En bil kör i 100 kilometer i timmen. Detta beskriver inte en vektor, eftersom det bara finns en storlek, men ingen riktning.

 

Fler exempel på vektorer

• Förskjutning är en vektor. Förskjutning är den sträcka som något rör sig i en viss riktning. Ett mått på enbart avstånd är en skalär.
• En kraft som innehåller en riktning är en vektor.
• Hastigheten är en vektor, eftersom den är en hastighet i en viss riktning.
• Acceleration är hastighetsförändringen. Ett föremål accelererar om det ändrar hastighet eller riktning.

 

Hur man lägger till vektorer

Lägg till vektorer på papper med hjälp av huvud till svans-metoden

Metoden Head to Tail för att addera vektorer är användbar för att göra en uppskattning på papper av resultatet av att addera två vektorer. Så här gör du:

• Varje vektor ritas som en pil med en viss längd bakom sig, där varje längdenhet på pappret representerar en viss storlek på vektorn.
• Rita nästa vektor, med den andra vektorns svans (ände) vid den första vektorns huvud (framsida).
• Upprepa för alla ytterligare vektorer: Dra nästa vektors svans i huvudet på den föregående vektorn.
• Dra en linje från den första vektorns svans till den sista vektorns huvud - det är resultanten (summan) av alla vektorerna.

Det kallas "Head to Tail"-metoden, eftersom varje huvud från den föregående vektorn leder till svansen i nästa vektor.

Användning av komponentformulär

^{[behöver förklaras ]}

Att använda komponentformen för att addera två vektorer innebär bokstavligen att man adderar vektorernas komponenter för att skapa en ny vektor. Låt till exempel a och b vara två tvådimensionella vektorer. Dessa vektorer kan skrivas i termer av deras komponenter.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Anta att c är summan av dessa två vektorer, så att c = a + b. Detta innebär att c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Här är ett exempel på addition av två vektorer med hjälp av deras komponentformer:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}}

Den här metoden fungerar för alla vektorer, inte bara tvådimensionella.

 
Tillägg från huvud till svans  

Hur man multiplicerar vektorer

Med hjälp av punktprodukten

Punktprodukten är en metod för att multiplicera vektorer. Den ger en skalär. Den använder komponentform:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\\\\\&=2+12\&=14\end{aligned}}}}

Användning av korsprodukten

Korsprodukten är en annan metod för att multiplicera vektorer. Till skillnad från punktprodukten ger den en vektor. Med hjälp av komponentformen:

a × b = | a | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Här är | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} betyder längden på en {\displaystyle \mathbf {a} } och n {\displaystyle \mathbf {n} } är enhetsvektorn i rät vinkel mot både en {\displaystyle \mathbf {a} } och b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Multiplicering med en skalär

För att multiplicera en vektor med en skalär (ett normalt tal) multiplicerar du talet med varje komponent i vektorn:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Ett exempel på detta är

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\\\&=(15,20)\end{aligned}}}

 

Relaterade sidor

• Analytisk geometri
• Nollvektor
• Enhetsvektor
• Vektorfält
• Vektorgrafik
• Vektorrum
• Vektorsubrymd