Determinant (matris): definition, egenskaper och tillämpningar

Det finns några sätt att förstå vad determinanten säger om en matris.

Geometrisk tolkning

En n × n {\displaystyle n\times n} -matris kan ses som en beskrivning av en linjär karta i n {\displaystyle n} dimensioner. I så fall anger determinanten den faktor med vilken denna matris skalar (växer eller krymper) ett område i n {\displaystyle n} -dimensionellt rum.

Till exempel en 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matris A {\displaystyle A} , som ses som en linjär karta, förvandlar en kvadrat i det tvådimensionella rummet till en parallellogram. Parallellogrammens area kommer att vara det ( A ) {\displaystyle \det(A)} gånger så stor som kvadratens area.

På samma sätt kommer en 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matris B {\displaystyle B} , som ses som en linjär karta, att förvandla en kub i det tredimensionella rummet till en parallelepiped. Denna parallelepips volym kommer att vara det ( B ) {\displaystyle \det(B)} gånger så stor som kubens volym.

Bestämningsfaktorn kan vara negativ eller noll. En linjär karta kan sträcka ut och skala en volym, men den kan också spegla den över en axel. När detta sker ändras determinantens tecken från positiv till negativ eller från negativ till positiv. En negativ determinant innebär att volymen speglades över ett udda antal axlar.

Tolkning av "ekvationssystem"

Man kan tänka sig att en matris beskriver ett system av linjära ekvationer. Detta system har en unik icke-trivial lösning exakt när determinanten inte är 0 (icke-trivial betyder att lösningen inte bara består av nollor).

Om determinanten är noll finns det antingen ingen unik icke-trivial lösning eller så finns det oändligt många.

En matris har en invers matris exakt när determinanten inte är 0. Därför kallas en matris med en determinant som inte är noll för inverterbar. Om determinanten är 0 kallas matrisen för icke-inverterbar eller singulär.

Geometriskt sett kan man tänka sig att en singularmatris "plattar" parallelepiped till en parallellogram, eller en parallellogram till en linje. Då är volymen eller arean 0, vilket innebär att det inte finns någon linjär karta som ger den gamla formen tillbaka.

Det finns några olika sätt att beräkna en determinant.

Formler för små matriser

• För 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} och 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matriser gäller följande enkla formler:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

• För 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matriser är formeln följande:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Man kan använda Sarrusregeln (se bild) för att komma ihåg denna formel.

Expansion av kofaktorer

För större matriser är determinanten svårare att beräkna. Ett sätt att göra det kallas för kofaktorexpansion.

Anta att vi har en n × n {\displaystyle n\times n} matris A {\displaystyle A} . Först väljer vi en rad eller kolumn i matrisen. För varje tal a i j {\displaystyle a_{ij}} i den raden eller kolumnen beräknar vi något som kallas dess kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} . Då är det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} .

För att beräkna en sådan kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} raderar vi rad i {\displaystyle i} och kolumn j {\displaystyle j} från matrisen A {\displaystyle A} . Detta ger oss en mindre ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matris. Vi kallar den M {\displaystyle M} . Kofaktorn C i j {\displaystyle C_{ij}}} är då lika med ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Här är ett exempel på en kofaktorexpansion av den vänstra kolumnen i en 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} -matris:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\3&&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\\&=-11.\end{aligned}}}

Som framgår ovan kan man förenkla beräkningen av determinanten genom att välja en rad eller kolumn som har många nollor; om a i j {\displaystyle a_{ij}} är 0 kan man hoppa över beräkningen av C i j {\displaystyle C_{ij}} helt och hållet.

• Invertibel matris
• Volym