Tecken (matematik)
Sammanfattning av begreppet tecken i matematik: positiva/negativa tal, teckenfunktion, regler, användningar i olika områden (permutationer, funktioner) och skillnaden mot storlek/absolutvärde.
Begreppet tecken i matematiken betecknar i första hand egenskapen att vara positiv eller negativ. För icke‑noll reella tal är tecknet antingen positivt eller negativt; talet noll är varken positivt eller negativt utan ofta kallat teckenlöst. För en introducerande översikt se begreppet tecken.
Definition och notation
Vanlig notation för tecken är plus (+) för positiva tal och minus (−) för negativa tal. Man skriver till exempel +7 eller −3 för att ange tecknet explicit. I många sammanhang betraktas tal utan tecken som positiva. Den matematiska teckenfunktionen sgn(x) returnerar vanligen 1 för positiva x, −1 för negativa x och 0 för x = 0. För grundläggande begrepp om reella tal och tecken, se vidare resurser.
Algebraiska regler och exempel
Tecknet påverkar resultatet vid aritmetiska operationer enligt välkända regler: produkten av två tal med samma tecken är positiv, medan produkten av tal med olika tecken är negativ. Exempel: (−2)·(−5)=+10 och (−2)·5=−10. Division följer samma mönster. Absolute värde |x| avlägsnar tecknet och visar talets storlek oberoende av riktning.
Tecknet som funktion
Teckenfunktionen sgn(x) används ofta i analys, differentialekvationer och signalbehandling för att modellera diskontinuiteter eller riktning. Funktionens värden är diskreta (−1, 0, 1) och ger enkel information om ett värdes riktning utan att beskriva dess magnitud.
Andra betydelser i matematiken
Ordet tecken används också i vidare meningar. I kombinatoriken talar man om permutationers tecken (paritet), det vill säga om en permutation är jämn eller udda. Inom linjär algebra används teckenläget för determinanter och orientering. Dessutom refererar man ibland till de faktiska symbolerna plus och minus som matematiska symboler. Se även noteringar om positiv och negativ och om särskilda fall som noll.
Betydelse och särskilda fall
Tecken är centralt för lösning av olikheter, för förståelse av funktioners beteende och för signalriktning i tillämpningar. En viktig distinktion är att tecken är skilt från storlek: två tal kan ha samma absoluta värde men motsatta tecken. För kompletterande läsning och exempel på tillämpningar, se följande översikter: allmänt om tecken, reella tal, och matematiska symboler.
Ett tals tecken
Ett reellt tal är positivt om det är större än noll och negativt om det är mindre än noll. Egenskapen att vara positiv eller negativ kallas för talets tecken. Noll i sig anses inte ha något tecken.
I aritmetik anges ett tals tecken ofta genom att sätta ett plus- eller minustecken före talet. Till exempel +3 anger ett positivt 3 och -3 anger ett negativt 3. När inget plus- eller minustecken anges är det huvudsakliga sättet att se det att ett tal är positivt.
Tecknet för alla tal som inte är noll kan ändras till positivt med hjälp av absolutvärdesfunktionen. Exempelvis är absolutvärdet av -3 och absolutvärdet av 3 båda lika med 3. I symboler skulle detta skrivas |-3| = 3 och |3| = 3.
Tecken på noll
Talet noll är varken positivt eller negativt och har därför inget tecken. I aritmetik betyder +0 och -0 båda samma tal 0.
Betydelse av tecken
Eftersom noll varken är positivt eller negativt, används ibland följande för att ange tecknet på ett okänt tal:
- Ett tal är positivt om det är större än noll.
- Ett tal är negativt om det är mindre än noll.
- Ett tal är icke-negativt om det är större än eller lika med noll.
- Ett tal är icke-positivt om det är mindre än eller lika med noll.
Ett icke-negativt tal är alltså antingen positivt eller noll, medan ett icke-positivt tal är antingen negativt eller noll. Det absoluta värdet av ett verkligt tal är till exempel alltid icke-negativt, men inte nödvändigtvis positivt.
Samma definition används ibland för funktioner som tar reella eller heltalsvärden. En funktion kan till exempel kallas positiv om alla dess värden är positiva, eller icke-negativ om alla dess värden är icke-negativa.
Tecken på en vinkel
I många texter är det vanligt att man ser ett tecken tillsammans med måttet på en vinkel, särskilt en vinkel som är belägen eller en rotationsvinkel. I en sådan situation säger tecknet om vinkeln är med eller moturs. Även om olika konventioner kan användas är det vanligt i matematiken att vinklar moturs räknas som positiva och vinklar medurs räknas som negativa.
Det är också möjligt att sätta ett tecken på en rotationsvinkel i tre dimensioner, förutsatt att rotationsaxeln har orienterats. Närmare bestämt räknas en högersvängande rotation runt en axel vanligtvis som positiv, medan en vänstersvängande rotation räknas som negativ.
Tecken på en riktning
Inom aritmetik och fysik är det vanligt att vissa riktningar betecknas som positiva eller negativa. Ett grundläggande exempel är att tallinjen brukar ritas med positiva tal till höger och negativa tal till vänster:
På det kartesiska planet betraktas vanligtvis riktningarna åt höger och uppåt som positiva, där höger är den positiva x-riktningen och uppåt är den positiva y-riktningen.
Andra betydelser
Förutom tecknet för ett reellt tal används ordet tecken också på olika relaterade sätt i matematik och naturvetenskap:
- I grafteori är en signerad graf en graf där varje kant har markerats med ett positivt eller negativt tecken.
- Inom fysiken har varje elektrisk laddning ett tecken, antingen positivt eller negativt. Enligt allmänna regler är en positiv laddning en laddning med samma tecken som en proton, och en negativ laddning är en laddning med samma tecken som en elektron.
Relaterade artiklar
Författare
AlegsaOnline.com Tecken (matematik) Leandro Alegsa
URL: https://sv.alegsaonline.com/art/90318