Matris | en rektangel av siffror, ordnade i rader och kolumner
Inom matematiken är en matris (plural: matriser) en rektangel med siffror som är ordnade i rader och kolumner. Raderna utgörs av linjer från vänster till höger (horisontellt) och kolumnerna går från topp till botten (vertikalt). Den översta vänstra cellen ligger på rad 1, kolumn 1 (se diagrammet till höger).
Matriser representeras ofta av stora romerska bokstäver, t.ex. "multiplicera" matriser med varandra, men reglerna är annorlunda än för tal. Exempelvis ger produkten inte alltid samma resultat som , vilket är fallet för multiplikation av vanliga tal. En matris kan ha fler än två dimensioner, till exempel en 3D-matris. En matris kan också vara endimensionell, som en enda rad eller en enda kolumn.
, och Det finns regler för att addera, subtrahera ochMånga naturvetenskaper använder matriser ganska mycket. På många universitet ges kurser om matriser (vanligtvis kallade linjär algebra) mycket tidigt, ibland till och med under det första studieåret. Matriser är också mycket vanliga inom datavetenskap, teknik, fysik, ekonomi och statistik.
Specifika poster i en matris refereras ofta genom att använda par av subscripts, för siffrorna i varje rad och kolumn.
Definitioner och anmärkningar
De horisontella linjerna i en matris kallas rader och de vertikala linjerna kallas kolumner. En matris med m rader och n kolumner kallas m-by-n-matris (eller m×n-matris) och m och n kallas dess dimensioner.
De platser i matrisen där siffrorna finns kallas poster. Den post i en matris A som ligger i raden i och kolumnen j kallas för i,j-posten i A. Detta skrivs som A[i,j] elleri,j .
Vi skriver
för att definiera en m × n-matris A, där varje post i matrisen kallasi,j för alla 1 ≤ i ≤ m och 1 ≤ j ≤ n.Exempel
Matrisen
är en 4×3-matris. Matrisen har m=4 rader och n=3 kolumner.
Elementet A[2,3] eller2,3 är 7.
Verksamheter
Tillägg
Summan av två matriser är den matris vars (i,j)-te post är lika med summan av (i,j)-te posterna i två matriser:
De två matriserna har samma dimensioner. Här är
sant (och det är sant i allmänhet för matriser med samma dimensioner).Multiplikation av två matriser
Multiplikationen av två matriser är lite mer komplicerad:
Så är det också med siffror:
- Två matriser kan multipliceras med varandra även om de har olika dimensioner, så länge antalet kolumner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra matrisen.
- Resultatet av multiplikationen, som kallas produkten, är en annan matris med samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolumner som den andra matrisen.
- Multiplikationen av matriser är inte kommutativ, vilket innebär att .
- Multiplikation av matriser är associativ, vilket innebär att .
Särskilda matriser
Det finns vissa matriser som är speciella.
Kvadratisk matris
En kvadratisk matris har lika många rader som kolumner, så m=n.
Ett exempel på en kvadratisk matris är
Denna matris har 3 rader och 3 kolumner: m=n=3.
Identitet
Varje kvadratdimensionell uppsättning av en matris har en speciell motsvarighet som kallas "identitetsmatris" och som representeras av symbolen
. Identitetsmatrisen har inget annat än nollor utom på huvuddiagonalen, där det finns alla ettor. Till exempel:
är en identitetsmatris. Det finns exakt en identitetsmatris för varje uppsättning med kvadratisk dimension. En identitetsmatris är speciell eftersom när man multiplicerar vilken matris som helst med identitetsmatrisen är resultatet alltid den ursprungliga matrisen utan förändring.
Invers matris
En invers matris är en matris som, när den multipliceras med en annan matris, är lika med identitetsmatrisen. Till exempel:
är omvänt mot .
Formeln för inversen av en 2x2-matris,
är:
Där
är matrisens determinant. I en 2x2-matris är determinanten lika med:
Matris med en kolumn
En matris som har många rader men bara en kolumn kallas kolumnvektor.
Bestämningsfaktorer
Med determinanten tar man en kvadratisk matris och beräknar ett enkelt tal, en skalär. För att förstå vad det här talet betyder kan du ta varje kolumn i matrisen och rita den som en vektor. Den parallellogram som ritas av dessa vektorer har en area, som är determinanten. För alla 2x2-matriser är formeln mycket enkel:
För 3x3 matriser är formeln mer komplicerad:
Det finns inga enkla formler för determinanter för större matriser, och många datorprogrammerare studerar hur man kan få datorer att snabbt hitta stora determinanter.
Egenskaper hos determinanter
Det finns tre regler som alla bestämningsfaktorer följer. Dessa är:
- En identitetsmatris har determinanten 1
- Om två rader eller två kolumner i matrisen byts ut multipliceras determinanten med -1. Matematikerna kallar detta för alternering.
- Om alla tal i en rad eller kolumn multipliceras med ett annat tal n multipliceras determinanten med n. Om en matris M har en kolumn v som är summan av två kolumnmatriser och så är M:s determinant summan av determinanterna av M med i stället för v och M med i stället för v. Dessa två villkor kallas multilinjäritet.
Relaterade sidor
- Bestämmande faktor
- Egenvärden och egenvektorer
- Matrisanalys
- Matrisfunktion
- Numerisk linjär algebra
- System av linjära ekvationer
- Transponera
Frågor och svar
F: Vad är en matris?
S: En matris är en rektangel med siffror som är ordnade i rader och kolumner. Raderna är var och en linjer från vänster till höger (horisontellt) och kolumnerna går från topp till botten (vertikalt).
F: Hur representeras matriser?
S: Matriser representeras ofta med stora romerska bokstäver som A, B och C.
F: Vad händer när man multiplicerar två matriser med varandra?
S: Produkten AB ger inte alltid samma resultat som BA, vilket skiljer sig från att multiplicera vanliga tal.
F: Kan en matris ha mer än två dimensioner?
S: Ja, en matris kan ha fler än två dimensioner, till exempel en 3D-matris. Den kan också vara endimensionell, som en enda rad eller kolumn.
F: Var används matriser?
S: Matriser används inom många naturvetenskaper och datavetenskap, teknik, fysik, ekonomi och statistik.
F: När ger universiteten kurser om matriser?
S: Universiteten brukar ge kurser om matriser (vanligtvis kallade linjär algebra) mycket tidigt i studierna - ibland till och med under det första studieåret.
F: Är det möjligt att addera eller subtrahera matriser tillsammans?
S: Ja - det finns regler för att addera och subtrahera matriser tillsammans, men dessa regler skiljer sig från reglerna för vanliga tal.