Matris (matematik) – definition, egenskaper och tillämpningar

De horisontella linjerna i en matris kallas rader och de vertikala linjerna kallas kolumner. En matris med m rader och n kolumner kallas m-by-n-matris (eller m×n-matris) och m och n kallas dess dimensioner.

De platser i matrisen där siffrorna finns kallas poster. Den post i en matris A som ligger i raden i och kolumnen j kallas för i,j-posten i A. Detta skrivs som A[i,j] eller_i,j .

Vi skriver A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}} för att definiera en m × n-matris A, där varje post i matrisen kallas_i,j för alla 1 ≤ i ≤ m och 1 ≤ j ≤ n.

Exempel

Matrisen

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}}

är en 4×3-matris. Matrisen har m=4 rader och n=3 kolumner.

Elementet A[2,3] eller_2,3 är 7.

Tillägg

Summan av två matriser är den matris vars (i,j)-te post är lika med summan av (i,j)-te posterna i två matriser:

[ 1 3 2 1 0 0 0 1 2 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 0 1 + 2 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

De två matriserna har samma dimensioner. Här är A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} sant (och det är sant i allmänhet för matriser med samma dimensioner).

Multiplikation av två matriser

Multiplikationen av två matriser är lite mer komplicerad:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\end{bmatrix}}}

Så är det också med siffror:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}2&&3\\\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Två matriser kan multipliceras med varandra även om de har olika dimensioner, så länge antalet kolumner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra matrisen.
• Resultatet av multiplikationen, som kallas produkten, är en annan matris med samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolumner som den andra matrisen.
• Multiplikationen av matriser är inte kommutativ, vilket innebär att A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} .
• Multiplikation av matriser är associativ, vilket innebär att ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} .

Det finns vissa matriser som är speciella.

Kvadratisk matris

En kvadratisk matris har lika många rader som kolumner, så m=n.

Ett exempel på en kvadratisk matris är

[ 5 - 2 4 0 0 9 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\-7&6&8\\end{bmatrix}}}

Denna matris har 3 rader och 3 kolumner: m=n=3.

Identitet

Varje kvadratdimensionell uppsättning av en matris har en speciell motsvarighet som kallas "identitetsmatris" och som representeras av symbolen I {\displaystyle I} . Identitetsmatrisen har inget annat än nollor utom på huvuddiagonalen, där det finns alla ettor. Till exempel:

[ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\0&0&0&1\\end{bmatrix}}}

är en identitetsmatris. Det finns exakt en identitetsmatris för varje uppsättning med kvadratisk dimension. En identitetsmatris är speciell eftersom när man multiplicerar vilken matris som helst med identitetsmatrisen är resultatet alltid den ursprungliga matrisen utan förändring.

Invers matris

En invers matris är en matris som, när den multipliceras med en annan matris, är lika med identitetsmatrisen. Till exempel:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\\end{bmatrix}}} är omvänt mot [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}} .

Formeln för inversen av en 2x2-matris, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} är:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\-z&x\end{bmatrix}}}

Där det {\displaystyle \det } är matrisens determinant. I en 2x2-matris är determinanten lika med:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matris med en kolumn

En matris som har många rader men bara en kolumn kallas kolumnvektor.

Med determinanten tar man en kvadratisk matris och beräknar ett enkelt tal, en skalär. För att förstå vad det här talet betyder kan du ta varje kolumn i matrisen och rita den som en vektor. Den parallellogram som ritas av dessa vektorer har en area, som är determinanten. För alla 2x2-matriser är formeln mycket enkel: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

För 3x3 matriser är formeln mer komplicerad: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Det finns inga enkla formler för determinanter för större matriser, och många datorprogrammerare studerar hur man kan få datorer att snabbt hitta stora determinanter.

Egenskaper hos determinanter

Det finns tre regler som alla bestämningsfaktorer följer. Dessa är:

• En identitetsmatris har determinanten 1
• Om två rader eller två kolumner i matrisen byts ut multipliceras determinanten med -1. Matematikerna kallar detta för alternering.
• Om alla tal i en rad eller kolumn multipliceras med ett annat tal n multipliceras determinanten med n. Om en matris M har en kolumn v som är summan av två kolumnmatriser v 1 {\displaystyle v_{1}} och v 2 {\displaystyle v_{2}} så är M:s determinant summan av determinanterna av M med v 1 {\displaystyle v_{1}} i stället för v och M med v 2 {\displaystyle v_{2}} i stället för v. Dessa två villkor kallas multilinjäritet.

• Bestämmande faktor
• Egenvärden och egenvektorer
• Matrisanalys
• Matrisfunktion
• Numerisk linjär algebra
• System av linjära ekvationer
• Transponera