Parallellepiped

Egenskaper

Alla de tre paren av parallella ytor kan betraktas som prismaets basplan. En parallelepiped har tre uppsättningar av fyra parallella kanter; kanterna inom varje uppsättning är lika långa.

Parallelepipeder är resultatet av linjära transformationer av en kub (för de icke-degenererade fallen: de bijektiva linjära transformationerna).

Eftersom varje sida har punktsymmetri är en parallelepiped en zonoeder. Hela parallelepipeden har också punktsymmetri _{Ci (}se även triklin). Varje sida är, sett utifrån, en spegelbild av den motsatta sidan. Ytorna är i allmänhet kirala, men parallelepipeden är det inte.

En rymdfylld mosaik är möjlig med kongruenta kopior av varje parallelepiped.

Volym

Volymen av ett parallelepiped är produkten av arean av basen A och höjden h. Basen är någon av de sex sidorna på parallelepipeden. Höjden är det vinkelräta avståndet mellan basen och den motsatta ytan.

En alternativ metod definierar vektorerna a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) och c = (c1, c2, c3) för att representera tre kanter som möts i en topp. Volymen av parallelepipeden är då lika med det absoluta värdet av den skalära trippelprodukten a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Detta är sant eftersom, om vi väljer b och c för att representera basens kanter, så är basens area enligt definitionen av korsprodukten (se geometrisk betydelse av korsprodukt),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

där θ är vinkeln mellan b och c, och höjden är

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

där α är den inre vinkeln mellan a och h.

Av figuren kan vi dra slutsatsen att α:s storlek är begränsad till 0° ≤ α < 90°. Tvärtom kan vektorn b × c med a bilda en inre vinkel β som är större än 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Eftersom b × c är parallell med h är värdet av β nämligen antingen β = α eller β = 180° - α. Så

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

och

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Vi drar slutsatsen att

V = A h = | a | | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

som enligt definitionen av skalarprodukten (eller punktprodukten) är likvärdig med det absoluta värdet av a - (b × c), Q.E.D.

Det sistnämnda uttrycket motsvarar också det absoluta värdet av determinanten för en tredimensionell matris som byggs upp med a, b och c som rader (eller kolumner):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Detta beräknas med hjälp av Cramers regel på tre reducerade tvådimensionella matriser som tagits fram från originalet.

Om a, b och c är parallelepipedens kantlängder och α, β och γ är de inre vinklarna mellan kanterna, är volymen

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Motsvarande tetraeder

Volymen av en tetraeder som delar tre konvergerande kanter av en parallelepiped har en volym som är lika med en sjättedel av volymen av parallelepipeden (se bevis).

Vektorer som definierar en parallelepiped.

Särskilda fall

För parallelepipeder med ett symmetriplan finns det två fall:

• Den har fyra rektangulära sidor.
• Den har två rombiska ytor, medan av de andra ytorna är två intilliggande lika stora och de andra två likadana (de två paren är varandras spegelbilder).

Se även monoklin.

En rektangulär kub, även kallad rektangulär parallelepiped eller ibland helt enkelt en kub, är en parallelepiped vars alla ytor är rektangulära; en kub är en kub med kvadratiska ytor.

En rombofedron är en parallelepiped med alla rombiska ytor; en trigonal trapezoedron är en rombofedron med kongruenta rombiska ytor.

Rektangulär parallelepiped

Perfekt parallelepiped

En perfekt parallelepiped är en parallelepiped med kanter, ytdiagonaler och rymddiagonaler av helhetslängd. År 2009 visades det att det finns dussintals perfekta parallelepipeder, vilket var ett svar på en öppen fråga från Richard Guy. Ett exempel har kanterna 271, 106 och 103, de mindre diagonalerna 101, 266 och 255, de större diagonalerna 183, 312 och 323 och rymddiagonalerna 374, 300, 278 och 272.

Några perfekta parallellopipeder med två rektangulära ytor är kända. Men det är inte känt om det finns några som har alla ytor rektangulära; ett sådant fall skulle kallas en perfekt kuboid.

Parallelotope

Coxeter kallade generaliseringen av en parallelepiped i högre dimensioner för parallellotop.

I n-dimensionella rum kallas den n-dimensionell parallellotop, eller helt enkelt n-parallellotop. En parallellogram är således en 2-parallellotop och en parallelepiped är en 3-parallellotop.

En parallellotop, eller Voronoi-parallellotop, har parallella och kongruenta motsatta sidor. En 2-parallellotop är alltså en parallellogon som också kan omfatta vissa hexagoner, och en 3-parallellotop är en parallelohedron, som omfattar fem typer av polyeder.

Diagonalerna i en n-parallelotop skär varandra i en punkt och delas av denna punkt. Inversion i denna punkt gör att n-parallellotopen förblir oförändrad. Se även fasta punkter för isometrigrupper i euklidiskt rum.

De kanter som strålar ut från en topp i en k-parallellotop bildar en k-ram ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} i vektorrummet, och parallellotopen kan återskapas från dessa vektorer genom att ta linjära kombinationer av vektorerna, med vikter mellan 0 och 1.

N-volymen av en n-parallelotop inbäddad i R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} där m ≥ n {\displaystyle m\geq n} kan beräknas med hjälp av Gram-determinanten. Alternativt är volymen normen för vektorernas yttre produkt:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Om m = n är det absoluta värdet av determinanten för de n vektorerna.

En annan formel för att beräkna volymen av en n-parallelotop P i R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} vars n + 1 hörn är V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , är

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

där [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} är den radvektor som bildas av sammanlänkningen av V i {\displaystyle V_{i}}} och 1. Faktum är att determinanten är oförändrad om [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} subtraheras från [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0), och genom att placera [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} i den sista positionen ändras endast dess tecken.

På samma sätt har volymen av varje n-simplex som delar n konvergerande kanter av en parallellotop en volym som är lika med en 1/n! av volymen av parallellotopen.

Lexikografi

Ordet förekommer som parallellipipedon i Sir Henry Billingsleys översättning av Euklides Elementar från 1570. I 1644 års upplaga av sin Cursus mathematicus använde Pierre Hérigone stavningen parallelepipedum. I Oxford English Dictionary anges att dagens parallelepipedum för första gången förekommer i Walter Charletons Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) visar parallellopiped och parallellopipedon, vilket visar på inflytandet av den kombinerande formen parallello-, som om det andra elementet var pipedon snarare än epipedon. Noah Webster (1806) inkluderar stavningen parallellopiped. I 1989 års upplaga av Oxford English Dictionary beskrivs parallellopiped (och parallellipiped) uttryckligen som felaktiga former, men dessa anges utan kommentar i 2004 års upplaga, och endast uttal med betoning på den femte stavelsen pi (/paɪ/) anges.

En förändring av det traditionella uttalet har dolt den olika uppdelning som de grekiska rötterna föreslår, där epi- ("på") och pedon ("jord") kombineras till epiped, ett platt "plan". Således är ytorna på en parallelepiped plana, med motsatta ytor som är parallella.