Ett Fermattal är ett heltal av formen Fn = 22n + 1 för något icke-negativt heltal n. Namnet kommer från matematikern Pierre de Fermat.

Definition och formel

Fermattalen definieras av formeln

{\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}

vilket kortfattat kan skrivas Fn = 22n + 1. Här är n ett icke-negativt heltal (n = 0, 1, 2, ...).

Exempel — de första Fermattalen

De första nio Fermattalen är (sekvens A000215 i OEIS):

  • F0 = 220 + 1 = 21 + 1 = 3
  • F1 = 221 + 1 = 22 + 1 = 5
  • F2 = 222 + 1 = 24 + 1 = 17
  • F3 = 223 + 1 = 28 + 1 = 257
  • F4 = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537
  • F5 = 225 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
  • F6 = 226 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
  • F7 = 227 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
  • F8 = 228 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Egenskaper

  • Parvis relativt prima: Fermattalen är parvis relativt prima, det vill säga gcd(Fm, Fn) = 1 för m ≠ n. En klassisk identitet som ger detta är F0 F1 ··· Fn−1 = Fn − 2.
  • Struktur hos primtalsdelare: Om ett primtal p delar Fn så gäller att ordningen för 2 modulo p är 2n+1. Därav följer att 2n+1 | (p − 1), dvs. p ≡ 1 (mod 2n+1).
  • De flesta är komposit: Fermat själv trodde att alla Fn var primtal, men redan Euler visade att F5 är sammansatt (641 | F5). Numera är det känt att många Fermattal för n ≥ 5 är komposit.

Faktorisering

Många Fermattal har hittills faktoriserats helt eller delvis genom satsningar med distribuerad datorkraft. I originaltexten nämndes att år 2007 endast de 12 första Fermattalen blivit fullständigt faktoriserade (skrivet som en produkt av primtal). Faktorer och faktoriseringar uppdateras löpande och samlas bland annat i databaser och projekt för primfaktorer—se gärna resurser om Prime Factors of Fermat Numbers för detaljer och aktuella resultat.

Fermatprimtal och villkor för primtal

  • Fermatprimtal: Ett Fermattal som också är ett primtal kallas ett Fermatprimtal. De enda kända Fermatprimtalen är F0, F1, F2, F3 och F4.
  • Villkor på n: Om 2n + 1 är ett primtal med n > 0 måste n vara en tvåpotens (dvs. n = 2k för något k). Med andra ord har primtalsformen 2m + 1 endast chans att vara prime om m är en makt av 2.
  • Pepins test (primalitetstest för Fermattal): För n ≥ 1 är Fn primtal om och endast om 3(Fn−1)/2 ≡ −1 (mod Fn). Detta är känt som Pepins test och är ett effektivt sätt att avgöra primaliteten för ett givet Fermattal.

Historik och användning

  • Fermat formulerade sin hypotes om att alla Fn skulle vara prim i 1600‑talet. Euler motbevisade detta 1732 genom att hitta faktorn 641 till F5.
  • Fermattal har samband med konstruktion med linjal och passare: ett polygon med 2k hörn kan konstrueras med linjal och passare om och endast om dess sidantal har formen produkt av en makt av två och distinkta Fermatprimtal.
  • Fermattal förekommer i talteori, algoritmdesign (särskilt i test för primalitet och faktorisering) och i studier av periodiska strukturer i modulär aritmetik.

För mer tekniska detaljer, aktuella faktoriseringar och vidare läsning, se referenser och specialiserade databaser. Många resultat och faktorer uppdateras regelbundet genom numeriska projekt och publikationer.