Fermattal: definition, formel, faktorisering och Fermatprimtal

Upptäck Fermattalens definition, formel, faktorisering och kända Fermatprimtal enligt Pierre de Fermat — exempel (F0–F8), faktoriseringar och metoder för identifiering.

Författare: Leandro Alegsa

22-02-2026 18:22

Ett Fermattal är ett heltal av formen F_n = 2^2ⁿ + 1 för något icke-negativt heltal n. Namnet kommer från matematikern Pierre de Fermat.

Definition och formel

Fermattalen definieras av formeln

$F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

vilket kortfattat kan skrivas F_n = 2^2ⁿ + 1. Här är n ett icke-negativt heltal (n = 0, 1, 2, ...).

Exempel — de första Fermattalen

De första nio Fermattalen är (sekvens A000215 i OEIS):

F₀ = 2^2⁰ + 1 = 2¹ + 1 = 3
F₁ = 2^2¹ + 1 = 2² + 1 = 5
F₂ = 2^2² + 1 = 2⁴ + 1 = 17
F₃ = 2^2³ + 1 = 2⁸ + 1 = 257
F₄ = 2^2⁴ + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65537
F₅ = 2^2⁵ + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F₆ = 2^2⁶ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F₇ = 2^2⁷ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F₈ = 2^2⁸ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Egenskaper

Parvis relativt prima: Fermattalen är parvis relativt prima, det vill säga gcd(F_m, F_n) = 1 för m ≠ n. En klassisk identitet som ger detta är F₀ F₁ ··· F_n−1 = F_n − 2.
Struktur hos primtalsdelare: Om ett primtal p delar F_n så gäller att ordningen för 2 modulo p är 2ⁿ⁺¹. Därav följer att 2ⁿ⁺¹ | (p − 1), dvs. p ≡ 1 (mod 2ⁿ⁺¹).
De flesta är komposit: Fermat själv trodde att alla F_n var primtal, men redan Euler visade att F₅ är sammansatt (641 | F₅). Numera är det känt att många Fermattal för n ≥ 5 är komposit.

Faktorisering

Många Fermattal har hittills faktoriserats helt eller delvis genom satsningar med distribuerad datorkraft. I originaltexten nämndes att år 2007 endast de 12 första Fermattalen blivit fullständigt faktoriserade (skrivet som en produkt av primtal). Faktorer och faktoriseringar uppdateras löpande och samlas bland annat i databaser och projekt för primfaktorer—se gärna resurser om Prime Factors of Fermat Numbers för detaljer och aktuella resultat.

Fermatprimtal och villkor för primtal

Fermatprimtal: Ett Fermattal som också är ett primtal kallas ett Fermatprimtal. De enda kända Fermatprimtalen är F₀, F₁, F₂, F₃ och F₄.
Villkor på n: Om 2ⁿ + 1 är ett primtal med n > 0 måste n vara en tvåpotens (dvs. n = 2^k för något k). Med andra ord har primtalsformen 2^m + 1 endast chans att vara prime om m är en makt av 2.
Pepins test (primalitetstest för Fermattal): För n ≥ 1 är F_n primtal om och endast om 3^(F_n−1)/2 ≡ −1 (mod F_n). Detta är känt som Pepins test och är ett effektivt sätt att avgöra primaliteten för ett givet Fermattal.

Historik och användning

Fermat formulerade sin hypotes om att alla F_n skulle vara prim i 1600‑talet. Euler motbevisade detta 1732 genom att hitta faktorn 641 till F₅.
Fermattal har samband med konstruktion med linjal och passare: ett polygon med 2^k hörn kan konstrueras med linjal och passare om och endast om dess sidantal har formen produkt av en makt av två och distinkta Fermatprimtal.
Fermattal förekommer i talteori, algoritmdesign (särskilt i test för primalitet och faktorisering) och i studier av periodiska strukturer i modulär aritmetik.

För mer tekniska detaljer, aktuella faktoriseringar och vidare läsning, se referenser och specialiserade databaser. Många resultat och faktorer uppdateras regelbundet genom numeriska projekt och publikationer.

Intressanta saker om Fermat-talen

Inga två Fermattal har gemensamma divisorer.
Fermat-talen kan beräknas rekursivt: För att få fram det N:e talet multiplicerar du alla Fermattal före det och lägger till två till resultatet.

Vad de används till

Idag kan Fermat-talen användas för att generera slumpmässiga tal mellan 0 och ett visst värde N, som är en potens av 2.

Fermats gissning

När Fermat studerade dessa tal antog han att alla Fermattal var primtal. Detta bevisades vara fel av Leonhard Euler, som 1732 faktoriserade F 5 {\displaystyle F_{5}}. $F_{5}$

Frågor och svar

Fråga: Vad är ett Fermattal?

Svar: Ett Fermattal är ett särskilt positivt tal som är uppkallat efter Pierre de Fermat. Det genereras av formeln F_n = 2^2^(n) + 1, där n är ett icke-negativt heltal.

F: Hur många Fermattal finns det?

S: År 2007 har endast de 12 första Fermat-talen blivit fullständigt faktoriserade.

Fråga: Vilka är de nio första Fermat-talen?

A: De nio första Fermat-talen är F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 34028236696920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), och F8 = 115792089892373161954235709858500868790790785326998466564056403945757584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

F: Vad kan man säga om primtal av formen 2n + 1?

Svar: Om 2n + 1 är primtal och n > 0 kan man visa att n måste vara en tvåpotens. Varje primtal av formen 2n + 1 är också ett Fermattal och sådana primtal kallas Fermatprimer. De enda kända Fermatprimerna är från 0 till 4.

Fråga: Var kan man hitta faktoriseringar för alla 12 kända faktoriserade Fermattal?

S: Faktoriseringar för alla 12 kända faktoriserade Fermattal finns på Prime Factors of Fermat Numbers.

Fråga: Vem var Pierre de Fermaat?

Svar: Pierre de Fermaat var en inflytelserik fransk matematiker som levde på 1600-talet och vars arbete lade en stor del av grunden för den moderna matematiken. Han är mest känd för sina bidrag till sannolikhetsteorin och den analytiska geometrin samt för sin berömda sista sats som förblev olöst fram till 1995 då den slutligen bevisades av Andrew Wiles med hjälp av metoder från algebraisk geometri.

Sök