Fermattal
Ett Fermattal är ett särskilt positivt tal. Fermattalen är uppkallade efter Pierre de Fermat. Formeln som genererar dem är
F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}}+1} 
där n är ett icke-negativt heltal. De nio första Fermat-talen är (sekvens A000215 i OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
År 2007 har endast de 12 första Fermat-talen blivit fullständigt faktoriserade. (skrivet som en produkt av primtal) Dessa faktoriseringar finns på Prime Factors of Fermat Numbers.
Om 2n + 1 är ett primtal och n > 0 kan man visa att n måste vara en tvåpotens. Varje primtal av formen 2n + 1 är ett Fermattal, och sådana primtal kallas Fermatprimer. De enda kända Fermatprimerna är F0,...,F4.
Intressanta saker om Fermat-talen
- Inga två Fermattal har gemensamma divisorer.
- Fermat-talen kan beräknas rekursivt: För att få fram det N:e talet multiplicerar du alla Fermattal före det och lägger till två till resultatet.
Vad de används till
Idag kan Fermat-talen användas för att generera slumpmässiga tal mellan 0 och ett visst värde N, som är en potens av 2.
Fermats gissning
När Fermat studerade dessa tal antog han att alla Fermattal var primtal. Detta bevisades vara fel av Leonhard Euler, som 1732 faktoriserade F 5 {\displaystyle F_{5}}.
Frågor och svar
Fråga: Vad är ett Fermattal?
Svar: Ett Fermattal är ett särskilt positivt tal som är uppkallat efter Pierre de Fermat. Det genereras av formeln F_n = 2^2^(n) + 1, där n är ett icke-negativt heltal.
F: Hur många Fermattal finns det?
S: År 2007 har endast de 12 första Fermat-talen blivit fullständigt faktoriserade.
Fråga: Vilka är de nio första Fermat-talen?
A: De nio första Fermat-talen är F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 34028236696920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), och F8 = 115792089892373161954235709858500868790790785326998466564056403945757584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
F: Vad kan man säga om primtal av formen 2n + 1?
Svar: Om 2n + 1 är primtal och n > 0 kan man visa att n måste vara en tvåpotens. Varje primtal av formen 2n + 1 är också ett Fermattal och sådana primtal kallas Fermatprimer. De enda kända Fermatprimerna är från 0 till 4.
Fråga: Var kan man hitta faktoriseringar för alla 12 kända faktoriserade Fermattal?
S: Faktoriseringar för alla 12 kända faktoriserade Fermattal finns på Prime Factors of Fermat Numbers.
Fråga: Vem var Pierre de Fermaat?
Svar: Pierre de Fermaat var en inflytelserik fransk matematiker som levde på 1600-talet och vars arbete lade en stor del av grunden för den moderna matematiken. Han är mest känd för sina bidrag till sannolikhetsteorin och den analytiska geometrin samt för sin berömda sista sats som förblev olöst fram till 1995 då den slutligen bevisades av Andrew Wiles med hjälp av metoder från algebraisk geometri.
