Tal | ett begrepp från matematik, används för att räkna eller mäta

Numreringsmetoder

Siffror för människor

Det finns olika sätt att ge siffror symboler. Dessa metoder kallas för talsystem. Det vanligaste talsystemet som människor använder är talsystemet i bas tio. Basen tio-talsystemet kallas också för decimaltalsystemet. Bas tio-talsystemet är vanligt eftersom människor har tio fingrar och tio tår. Det finns 10 olika symboler {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9} som används i bas tio-talsystemet. Dessa tio symboler kallas siffror.

En symbol för ett tal består av dessa tio siffror. Siffrornas placering visar hur stort talet är. Till exempel betyder talet 23 i decimaltalsystemet egentligen (2 gånger 10) plus 3. På samma sätt betyder 101 1 gånger hundra (=100) plus 0 gånger 10 (=0) plus 1 gånger 1 (=1).

Siffror för maskiner

Ett annat siffersystem är vanligare för maskiner. Maskinernas talsystem kallas binärt talsystem. Det binära talsystemet kallas också för bas två-talssystemet. Det finns två olika symboler (0 och 1) som används i bas två talsystemet. Dessa två symboler kallas bitar.

En symbol för ett binärt tal består av dessa två bit-symboler. Bit-symbolernas placering visar hur stort talet är. Till exempel betyder talet 10 i det binära talsystemet egentligen 1 gånger 2 plus 0, och 101 betyder 1 gånger fyra (=4) plus 0 gånger två (=0) plus 1 gånger 1 (=1). Det binära talet 10 är detsamma som det decimala talet 2. Det binära talet 101 är detsamma som det decimala talet 5.

 

Namn på nummer

Engelska har särskilda namn för vissa av de tal i decimaltalsystemet som är "tiopotenser". Alla dessa tiopotenser i decimaltalsystemet använder bara symbolen "1" och symbolen "0". Till exempel är tio tiotal detsamma som tio gånger tio eller hundra. I symboler är detta "10 × 10 = 100". Dessutom är tio hundra detsamma som tio gånger hundra, eller tusen. I symboler är detta "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Vissa andra tiopotenser har också särskilda namn:

• 1 - en
• 10 - tio
• 100 - hundra
• 1 000 - ett tusen
• 1 000 000 - en miljon

När det gäller större tal finns det två olika sätt att benämna talen på engelska. Enligt den "långa skalan" ges ett nytt namn varje gång talet är en miljon gånger större än det senast namngivna talet. Det kallas också för den "brittiska standarden". Denna skala var tidigare vanlig i Storbritannien, men används inte ofta i engelsktalande länder idag. Den används fortfarande i vissa andra europeiska länder.

En annan skala är den "korta skalan", där ett nytt namn ges varje gång en siffra är tusen gånger större än den senast nämnda. Denna skala är mycket vanligare i de flesta engelskspråkiga länder idag.

• 1 000 000 000 000 - en miljard (kort skala), en milliard (lång skala)
• 1 000 000 000 000 000 000 - en biljon (kort skala), en miljard (lång skala)
• 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - en kvadriljon (kort skala), en biljard (lång skala).

 

Typer av nummer

Naturliga tal

Naturliga tal är de tal som vi normalt använder för att räkna: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 osv. Vissa säger att 0 också är ett naturligt tal. Mängden av alla naturliga tal skrivs som N {\displaystyle \mathbb {N} } .

Ett annat namn för dessa tal är positiva tal. Dessa tal skrivs ibland med +1 för att visa att de skiljer sig från de negativa talen. Men alla positiva tal är inte naturliga (till exempel är 1 2 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{2}}}} positivt, men inte naturligt).

Om 0 kallas ett naturligt tal är de naturliga talen samma som de hela talen. Om 0 inte kallas för ett naturligt tal är de naturliga talen samma sak som de räknande talen. Så om orden "naturliga tal" inte används kommer det att bli mindre förvirring om huruvida noll ingår eller inte. Men tyvärr säger vissa att noll inte är ett helt tal, medan andra säger att hela tal kan vara negativa. "Positiva heltal" och "icke-negativa heltal" är ett annat sätt att inkludera noll eller utesluta noll, men bara om folk känner till dessa ord.

Negativa tal

Negativa tal är tal som är mindre än noll.

Ett sätt att tänka på negativa tal är att använda en tallinje. Vi kallar en punkt på denna linje för noll. Sedan kommer vi att märka (skriva namnet på) varje position på linjen med hur långt till höger om nollpunkten vi befinner oss. Till exempel är punkten ett en centimeter till höger och punkten två är två centimeter till höger.

Punkten en centimeter till vänster om nollpunkten kan dock inte vara punkt ett, eftersom det redan finns en punkt som heter ett. Vi kallar därför denna punkt för minus ett (-1, eftersom den är en centimeter bort men i motsatt riktning).

En ritning av en tallinje finns nedan.

Alla normala matematiska operationer kan göras med negativa tal:

• Att addera ett negativt tal till ett annat är detsamma som att ta bort det positiva talet med samma siffror. Till exempel är 5 + (-3) detsamma som 5 - 3 och är lika med 2.
• Att ta bort ett negativt tal från ett annat är detsamma som att addera det positiva talet med samma siffror. Till exempel är 5 - (-3) detsamma som 5 + 3 och är lika med 8.
• Genom att multiplicera två negativa tal med varandra får man ett positivt tal. Till exempel: -5 gånger -3 är 15.
• Om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt tal eller multiplicerar ett positivt tal med ett negativt tal får man ett negativt resultat. Till exempel: 5 gånger -3 är -15.

Eftersom det är omöjligt att hitta kvadratroten av ett negativt tal för reella tal (eftersom negativ gånger negativ är lika med positiv för reella tal) har kvadratroten av -1 fått ett särskilt namn: i. Detta kallas också den imaginära enheten.

Helheter

Helheter är alla naturliga tal, alla deras motsatser och nollan. Decimaltal och bråk är inte heltal.

Rationella tal

Rationella tal är tal som kan skrivas som bråk. Det innebär att de kan skrivas som a dividerat med b, där talen a och b är heltal och b inte är noll.

Vissa rationella tal, t.ex. 1/10, behöver ett begränsat antal siffror efter decimaltecknet för att skrivas i decimalform. Talet en tiondel skrivs i decimalform som 0,1. Tal som skrivs med en ändlig decimalform är rationella. Vissa rationella tal, t.ex. 1/11, behöver ett oändligt antal siffror efter decimalpunkten för att skrivas i decimalform. Det finns ett upprepande mönster i siffrorna efter decimalpunkten. Talet 1/11 skrivs i decimalform som 0,09090909090909 ... .

En procentsats kan kallas ett rationellt tal, eftersom en procentsats som 7 % kan skrivas som bråket 7/100. Det kan också skrivas som decimaltalet 0,07. Ibland betraktas ett förhållande som ett rationellt tal.

Irrationella tal

Irrationella tal är tal som inte kan skrivas som bråk, men som inte har imaginära delar (förklaras senare).

Irrationella tal förekommer ofta i geometri. Om vi till exempel har en kvadrat med sidorna 1 meter är avståndet mellan de motsatta hörnen kvadratroten av två, vilket är lika med 1,414213 ... . Detta är ett irrationellt tal. Matematiker har bevisat att kvadratroten av varje naturligt tal antingen är ett heltal eller ett irrationellt tal.

Ett välkänt irrationellt tal är pi. Det är omkretsen (avståndet runt en cirkel) dividerat med diametern (avståndet tvärsöver). Detta tal är detsamma för alla cirklar. Talet pi är ungefär 3,1415926535 ... .

Ett irrationellt tal kan inte skrivas ner fullständigt i decimalform. Det skulle ha ett oändligt antal siffror efter decimaltecknet, och till skillnad från 0,33333333 ... skulle dessa siffror inte upprepas i all oändlighet.

Verkliga tal

Verkliga tal är ett namn för alla de uppsättningar av tal som anges ovan:

• De rationella talen, inklusive heltal
• De irrationella talen

De reella talen bildar den reella linjen. Detta är alla tal som inte innehåller imaginära tal.

Tänkta tal

Imaginära tal bildas av reella tal multiplicerade med talet i. Detta tal är kvadratroten av minus ett (-1).

Det finns inget tal i de reella talen som när man kvadrerar det blir talet -1. Därför uppfann matematikerna ett tal. De kallade detta tal för i, eller den imaginära enheten.

Imaginära tal fungerar enligt samma regler som reella tal:

• Summan av två imaginära tal fås genom att dra ut (faktorisera) i:et. Till exempel 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Skillnaden mellan två imaginära tal hittas på samma sätt. Till exempel 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• När du multiplicerar två imaginära tal ska du komma ihåg att i × i (i² ) är -1. Till exempel 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Imaginära tal kallas för imaginära tal eftersom många matematiker inte trodde att de existerade när de först upptäcktes. Den person som upptäckte de imaginära talen var Gerolamo Cardano på 1500-talet. Den förste som använde orden imaginära tal var René Descartes. De första som använde dessa tal var Leonard Euler och Carl Friedrich Gauss. Båda levde på 1700-talet.

Komplexa tal

Komplexa tal är tal som har två delar: en reell del och en imaginär del. Varje typ av tal som beskrivs ovan är också ett komplext tal.

Komplexa tal är en mer allmän form av tal. De komplexa talen kan ritas in på ett talplan. Denna består av en reell tallinje och en imaginär tallinje.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

All normal matematik kan göras med komplexa tal:

• Om du vill addera två komplexa tal adderar du den reella delen och den imaginära delen separat. Till exempel: (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• För att subtrahera ett komplext tal från ett annat subtraherar du den reella och imaginära delen separat. Till exempel: (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Att multiplicera två komplexa tal är mer komplicerat. Det är lättast att beskriva i allmänna termer med två komplexa tal a + bi och c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Exempelvis (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentala tal

Ett reellt eller komplext tal kallas transcendentalt tal om det inte kan erhållas som ett resultat av en algebraisk ekvation med heltalskoefficienter.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Det kan vara mycket svårt att bevisa att ett visst tal är transcendentalt. Varje transcendentalt tal är också ett irrationellt tal. De första som såg att det fanns transcendenta tal var Gottfried Wilhelm Leibniz och Leonhard Euler. Den förste som faktiskt bevisade att det fanns transcendentala tal var Joseph Liouville. Han gjorde detta 1844.

Några välkända transcendentala tal är:

• e
• π
• e^a för algebraisk a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}}

 
√2 är irrationell.  

Relaterade sidor

• Namn på siffror på engelska