Gammafunktionen
Inom matematiken är gammafunktionen (Γ(z)) en utvidgning av faktorfunktionen till att omfatta alla komplexa tal utom negativa heltal. För positiva heltal definieras den som Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Gammafunktionen är definierad för alla komplexa tal. Men den är inte definierad för negativa heltal och noll. För ett komplext tal vars reella del inte är ett negativt heltal är funktionen definierad genom:
Gammafunktionen längs en del av den reella axeln
Egenskaper
Särskilda värden
Några särskilda värden för gammafunktionen är:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\end{array}}}} 
Pi-funktion
Gauss introducerade Pi-funktionen. Detta är ett annat sätt att beteckna gammafunktionen. I termer av gammafunktionen är Pi-funktionen följande
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} 
så att
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
för varje icke-negativt heltal n.
Applikationer
Analytisk talteori
Gammafunktionen används för att studera Riemannzeta-funktionen. En egenskap hos Riemannzeta-funktionen är dess funktionella ekvation:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann fann ett samband mellan dessa två funktioner. Detta var i 1859 års uppsats "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Om antalet primtal som är mindre än en given mängd").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Frågor och svar
F: Vad är gammafunktionen inom matematiken?
S: Gammafunktionen är ett nyckelämne inom området för speciella funktioner inom matematiken.
F: Vad är utvidgningen av faktorfunktionen till alla komplexa tal utom negativa heltal?
S: Gammafunktionen är en utvidgning av faktorfunktionen till alla komplexa tal utom negativa heltal.
F: Hur definieras gammafunktionen för positiva heltal?
S: För positiva heltal är gammafunktionen definierad som Γ(n) = (n-1)!
F: Är gammafunktionen definierad för alla komplexa tal?
S: Ja, gammafunktionen är definierad för alla komplexa tal.
F: Är gammafunktionen definierad för negativa heltal och noll?
S: Nej, gammafunktionen är inte definierad för negativa heltal och noll.
F: Hur definieras gammafunktionen för ett komplext tal vars reella del inte är ett negativt heltal?
S: Gammafunktionen definieras för ett komplext tal vars reella del inte är ett negativt heltal genom en specifik formel som inte ges i texten.
F: Varför är gammafunktionen viktig inom matematiken?
S: Gammafunktionen är viktig inom matematiken eftersom den är ett nyckelämne inom området specialfunktioner och den utvidgar faktorfunktionen till alla komplexa tal utom negativa heltal.
