Definition och notation
Ett komplext tal är ett tal, men skiljer sig från vanliga tal genom att det har två delar som kombineras: en reell del och en imaginär del. Den första delen är ett verkligt tal och den andra delen är ett imaginärt tal. Det viktigaste imaginära talet kallas i {\displaystyle i}
, definierat av egenskapen att det blir -1 när det kvadreras: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Alla imaginära tal kan skrivas som en reell multipel av i {\displaystyle i} .
Varje komplext tal kan skrivas i den vanliga formen a + b i {\displaystyle a+bi} 
där a och b är reella tal. Här kallas a för talets reella del och b för talets imaginära del. Vi skriver ofta ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
eller Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} 
för realdelen och ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
eller Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} 
för den imaginära delen. Om z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, då är a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
och b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
.
Det komplexa talet kan också uppfattas som ett ordnat par (a, b), där både a och b är reella tal. Varje reellt tal är ett komplext tal med imaginärdel 0, det vill säga a+0\cdot i {\displaystyle a+0\cdot i}
eller paret (a, 0).
Aritmetik och regler
Aritmetiska operationer som addition, subtraktion, multiplikation och division kan utföras med komplexa tal och följer samma grundläggande algebraiskt regler som reella tal: kommutativitet, associativitet och distributivitet. Om z1 = a + bi och z2 = c + di får man till exempel
- Addition: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
- Subtraktion: z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i
- Multiplikation: z1 · z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Division: z1 / z2 = [(a c + b d) + (b c − a d) i] / (c^2 + d^2) (givet att z2 ≠ 0)
Ett viktigt hjälpmedel vid division är den komplexa konjugaten: om z = a + bi så är dess konjugat \u0060\u007a\u0302 = a − bi. Produkten z·\u0060\u007a\u0302 = a^2 + b^2 är ett reellt icke-negativt tal (kvadraten av modulus, se nedan), vilket gör det möjligt att skriva upp kvoten i reell form.
Modulus, argument och geometrisk tolkning
Geometriskt kan ett komplext tal z = a + bi tolkas som punkten (a, b) i det tvådimensionella komplexplanet (även känt som Argand-diagrammet). Avståndet från origo till punkten kallas modulus eller absolutbelopp och betecknas |z|, där
|z| = sqrt(a^2 + b^2).
Argumentet arg(z) (ibland skrivet Arg z eller θ) är vinkeln mellan den positiva reella axeln och linjen från origo till (a, b). Med modulus r = |z| och argument θ kan z också skrivas i polär form som r(cos θ + i sin θ).
Polär form och Eulers formel
Med hjälp av Eulers formel kan polär form skrivas kompakt som
z = r e^{iθ},
där e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Detta gör exponentiella och trigonometriska samband lätta att hantera. Exempelvis ger Moivres formel (De Moivre) uttrycket
(r e^{iθ})^n = r^n e^{i n θ},
vilket används för att beräkna potenser och rötter av komplexa tal.
Lösningar av ekvationer och kvadratrötter
Problemet med att hitta kvadratrötter till negativa tal är en av anledningarna till att komplexa tal infördes. Det finns inget verkligt tal som ger −1 när det kvadreras; därför infördes i som ett tal med egenskapen i^2 = −1. På så sätt får ekvationen
(x+1)^{2}=-9
lösningen x + 1 = ±3i, alltså x = −1 ± 3i.
Egenskaper, struktur och notation
Mängden av alla komplexa tal betecknas ofta som C {\displaystyle \mathbb {C} } 
. Denna mängd bildar ett fält (field) där addition och multiplikation är väl definierade och alla icke‑noll element har en multiplikativ invers. Viktiga egenskaper är att komplexa tal inte kan ordnas till ett ordnat fält som de reella talen; det finns ingen naturlig ≤‑relation som är kompatibel med fältstrukturen.
Den komplexa konjugaten z̄ = a − bi är användbar för att beräkna modulus: |z|^2 = z z̄ = a^2 + b^2. Konjugation bevarar addition och multiplicering på ett sätt som många formler utnyttjar (t.ex. vid beräkning av reell- och imaginärdelar, vid normalisering av komplexa tal i kvoter osv.).
Historia och notation
De första bidragen till tanken på imaginära tal kan spåras till matematiker som Gerolamo Cardano och Raffaele Bombelli under 1500‑talet. Skrivsättet med symbolen i {\displaystyle \mathrm {i} }
tillskrivs i praktiken Leonhard Euler, och vidare formalisering gjordes av bland andra Carl Friedrich Gauss.
I tekniska tillämpningar används ibland bokstaven j {\displaystyle j}
i stället för i {\displaystyle i}, eftersom i {\displaystyle i} inom elektroteknik betecknar elektrisk ström. (Observera att i vissa dokument används j konsekvent för att undvika förväxling.)
Tillämpningar och exempel
Komplexa tal används överallt inom matematik, fysik och ingenjörsvetenskap: signalbehandling, kretsanalys, kvantmekanik, differentialekvationer, kontrollteori och geometrisk optimering är bara några exempel. De förenklar hanteringen av sinus- och cosinusfunktioner via exponentiella uttryck och gör det möjligt att lösa polynomekvationer fullständigt (Fundamentalteoremet i algebra säger att varje icke‑konstant polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot).
Exempel på enkla beräkningar:
- Om z1 = 2 + 3i och z2 = 1 − 4i så är z1 + z2 = 3 − i och z1 z2 = (2·1 − 3·(−4)) + (2·(−4) + 3·1)i = 14 − 5i.
- Om z = 1 + i så är modul |z| = sqrt(2) och argumentet arg(z) = π/4, och i polär form z = sqrt(2) e^{iπ/4}.
Sammanfattning
Komplexa tal utvidgar de reella talen genom att införa en imaginär enhet i {\displaystyle i} med i^2 = −1. De kan representeras både i kartesisk form a + bi och i polär/expontentiell form r e^{iθ}, har en tydlig geometrisk tolkning i ett plan och följer samma algebraiska lagar som reella tal. Mängden av alla komplexa tal betecknas C {\displaystyle \mathbb {C} } , och dessa tal är både teoretiskt viktiga och praktiskt användbara inom många områden.
