Komplexa tal
Ett komplext tal är ett tal, men skiljer sig från vanliga tal på många sätt. Ett komplext tal består av två tal som kombineras med varandra. Den första delen är ett verkligt tal. Den andra delen av ett komplext tal är ett imaginärt tal. Det viktigaste imaginära talet kallas i {\displaystyle i}
, definierat som ett tal som blir -1 när det kvadreras ("kvadreras" betyder "multipliceras med sig självt"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Alla andra imaginära tal är i {\displaystyle i} multiplicerat med ett verkligt tal, på samma sätt som alla verkliga tal kan betraktas som 1 multiplicerat med ett annat tal. Aritmetiska funktioner som addition, subtraktion, multiplikation och division kan användas med komplexa tal. De följer också kommutativa, associativa och distributiva egenskaper, precis som reella tal.
Komplexa tal upptäcktes när man försökte lösa speciella ekvationer som innehåller exponenter. Dessa började ställa matematikerna inför verkliga problem. Som en jämförelse är det möjligt att med negativa tal hitta x i ekvationen a + x = b {\displaystyle a+x=b}
för alla verkliga värden på a och b, men om endast positiva tal tillåts för x är det ibland omöjligt att hitta ett positivt x, som i ekvationen 3 + x = 1.
När det gäller exponentiering finns det en svårighet att övervinna. Det finns inget verkligt tal som ger -1 när det kvadreras. Med andra ord har -1 (eller något annat negativt tal) ingen reell kvadratrot. Det finns till exempel inget verkligt tal x {\displaystyle x}
som löser ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. För att lösa detta problem införde matematikerna en symbol i och kallade den imaginärt tal. Detta är det imaginära talet som ger -1 när det kvadreras.
De första matematikerna som tänkte på detta var förmodligen Gerolamo Cardano och Raffaele Bombelli. De levde på 1500-talet. Det var förmodligen Leonhard Euler som införde skrivningen i {\displaystyle \mathrm {i} }
för det talet.
Alla komplexa tal kan skrivas som a + b i {\displaystyle a+bi} 
(eller a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), där a kallas talets reella del och b kallas den imaginära delen. Vi skriver ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
eller Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} 
för realdelen av ett komplext tal z {\displaystyle z}
. Om z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
skriver vi a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. På samma sätt skriver vi ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
eller Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} 
för den imaginära delen av ett komplext tal z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
för samma z. Varje verkligt tal är också ett komplext tal; det är ett komplext tal z med ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Det komplexa talet kan också skrivas som ett ordnat par, (a, b). Både a och b är reella tal. Alla reella tal kan helt enkelt skrivas som a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
eller som paret (a, 0).
Ibland skrivs j {\displaystyle j}
i stället för i {\displaystyle i}. Inom elektroteknik betyder i {\displaystyle i} elektrisk ström. Att skriva i {\displaystyle i} kan orsaka en hel del problem eftersom vissa tal inom elektroteknik är komplexa tal.
Mängden av alla komplexa tal brukar skrivas som C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operationer över komplexa tal
Addition, subtraktion, multiplikation, division så länge divisorn inte är noll och exponentiering (höja tal till exponenter) är alla möjliga med komplexa tal. Vissa andra beräkningar är också möjliga med komplexa tal.
Regeln för addition och subtraktion av komplexa tal är ganska enkel:
Låt z = ( a + b i ), w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, så är z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, och z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Multiplikation är lite annorlunda:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
En annan anmärkningsvärd operation för komplexa tal är konjugering. En komplex konjugat z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
till z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} är a - b i {\displaystyle a-bi}
. Det är ganska enkelt, men är viktigt för beräkningar, eftersom z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
tillhör de reella talen för alla komplexa z {\displaystyle z} :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} 
.
Vi kan använda detta för att göra division:
1 z = z ¯ z z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {\frac {1}{z}}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}}=w({\frac {1}{z}}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a}{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Andra sätt att beskriva komplexa tal
Komplexa tal kan visas på en så kallad komplex plan. Om man har ett tal z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , kan man gå till en punkt på den reella axeln och till b på den imaginära axeln och rita en vektor från ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
till ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Längden på denna vektor kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats och vinkeln mellan den positiva reella axeln och denna vektor, moturs. Längden på en vektor för ett tal z {\displaystyle z} kallas dess modul (skrivet som | z | {\displaystyle |z|}
), och vinkeln kallas dess argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Detta leder till den trigonometriska formen för att beskriva komplexa tal: genom definitionerna av sinus och cosinus, för alla z {\displaystyle z} står att
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Detta är nära kopplat till De Moivre's formel.
Det finns även en annan form som kallas exponentialform.
Ett komplext tal kan visuellt visas som två tal som bildar en vektor på ett Arganddiagram som representerar det komplexa planet.
Slutsats
När komplexa tal läggs till i matematiken har varje polynom med komplexa koefficienter rötter som är komplexa tal. Det framgångsrika tillägget av komplexa tal till matematiken bidrog också till att öppna en väg för skapandet av andra sorters tal som kunde lösa och hjälpa till att förklara många olika problem, till exempel: hyperkomplexa tal, sedenion, hyperreala tal, surreala tal och många andra. Se typer av tal.
Frågor och svar
Fråga: Vad är ett komplext tal?
S: Ett komplext tal är ett tal som består av två delar, där den första delen är ett reellt tal och den andra delen är ett imaginärt tal.
F: Vilket är det viktigaste imaginära talet?
S: Det viktigaste imaginära talet kallas i, vilket definieras som ett tal som blir -1 när det kvadreras.
F: Hur används aritmetiska funktioner med komplexa tal?
S: Aritmetiska funktioner som addition, subtraktion, multiplikation och division kan användas med komplexa tal. De följer också kommutativa, associativa och distributiva egenskaper precis som reella tal.
F: Vilken symbol representerar mängden komplexa tal?
S: Mängden komplexa tal representeras ofta med symbolen C.
Fråga: Varför upptäcktes komplexa tal?
S: Komplexa tal upptäcktes när man försökte lösa speciella ekvationer som innehåller exponenter, eftersom de innebar verkliga problem för matematikerna.
F: Vem införde skrivningen i för denna typ av tal?
Svar: Det var förmodligen Leonhard Euler som införde skrivning av i för denna typ av tal.
Fråga: Hur kan ett komplext tal skrivas som ett ordnat par?
Svar: Ett komplext tal kan skrivas som ett ordnat par (a, b), där både a och b är reella tal.
