Gödels ofullständighetssatser
Gödels ofullständighetssatser är namnet på två satser (sanna matematiska påståenden) som Kurt Gödel bevisade 1931. De är satser inom matematisk logik.
Matematikerna trodde en gång att allt som är sant har ett matematiskt bevis. Ett system som har denna egenskap kallas komplett, ett system som inte har det kallas ofullständigt. Matematiska idéer får inte heller innehålla motsägelser. Det innebär att de inte bör vara sanna och falska samtidigt. Ett system som inte innehåller motsägelser kallas konsekvent. Dessa system bygger på uppsättningar axiom. Axiom är påståenden som accepteras som sanna och som inte behöver bevisas.
Gödel sade att varje icke-trivialt (intressant) formellt system är antingen ofullständigt eller inkonsekvent:
- Det kommer alltid att finnas frågor som inte kan besvaras med hjälp av en viss uppsättning axiom;
- Du kan inte bevisa att ett axiomsystem är konsekvent, om du inte använder en annan uppsättning axiom.
Dessa satser är viktiga för matematiker eftersom de bevisar att det är omöjligt att skapa en uppsättning axiom som förklarar allt inom matematiken.
Några relaterade ämnen
Frågor och svar
F: Vad är Gödels ofullständighetssatser?
S: Gödels ofullständighetssatser är två sanna matematiska påståenden, bevisade av Kurt Gödel 1931, inom området matematisk logik.
F: Vad är ett fullständigt system inom matematiken?
S: Ett fullständigt system inom matematiken är ett system som har egenskapen att allt som är sant har ett matematiskt bevis.
F: Vad är ett ofullständigt system inom matematiken?
S: Ett ofullständigt system inom matematiken är ett system som inte har egenskapen att allt som är sant har ett matematiskt bevis.
F: Vad är ett konsistent system inom matematiken?
S: Ett konsekvent system inom matematiken är ett system som inte innehåller motsägelser, vilket innebär att matematiska idéer inte kan vara sanna och falska på samma gång.
F: Vad är axiom inom matematik?
S: Axiom i matematik är påståenden som accepteras som sanna och som inte kräver bevis.
F: Vad påstod Gödel om varje icke-trivialt formellt system?
S: Gödel hävdade att varje icke-trivialt formellt system är antingen ofullständigt eller inkonsekvent.
Fråga: Varför är Gödels ofullständighetssatser viktiga för matematiker?
S: Gödels ofullständighetssatser är viktiga för matematiker eftersom de bevisar att det är omöjligt att skapa en uppsättning axiom som förklarar allt inom matematiken.
