Teorem

En sats är en bevisad idé inom matematiken. Satser bevisas med hjälp av logik och andra satser som redan har bevisats. En sats som någon måste bevisa för att kunna bevisa en annan sats kallas lemma. Satser består av två delar, det finns hypoteser och slutsatser.

Satser bygger på slutledningar, till skillnad från teorier som är empiriska.

Vissa satser är triviala, de följer direkt av satserna. Andra satser kallas "djupa", deras bevis är långa och svåra. Ibland involverar sådana bevis andra områden inom matematiken eller visar på kopplingar mellan olika områden. En sats kan vara enkel att ange och ändå vara djupgående. Ett utmärkt exempel är Fermats sista sats, och det finns många andra exempel på enkla men djupa satser inom bland annat talteori och kombinatorik.

Det finns andra satser för vilka ett bevis är känt, men det är inte lätt att skriva ner. Bland de bästa exemplen finns fyrfärgssatsen och Keplers gissning. Båda dessa satser vet man bara att de är sanna genom att reducera dem till en beräkningssökning som sedan verifieras av ett datorprogram. Till en början var det många matematiker som inte accepterade denna form av bevis, men den har blivit mer allmänt accepterad på senare år. Matematikern Doron Zeilberger har till och med gått så långt som att hävda att detta möjligen är de enda icke-triviala resultat som matematiker någonsin har bevisat. Många matematiska satser kan reduceras till enklare beräkningar, bland annat polynomialidentiteter, trigonometriska identiteter och hypergeometriska identiteter.

Pythagoras sats har minst 370 kända bevis.Zoom
Pythagoras sats har minst 370 kända bevis.

Böcker

  • Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, hämtat 2009-11-15
  • Hoffman, P. (1998). Mannen som bara älskade siffror: Historien om Paul Erdős och sökandet efter matematisk sanning. Hyperion, New York.
  • Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Extern länk i |title= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Frågor och svar

F: Vad är en teorem?


S: En sats är en idé som har bevisats vara sann inom matematiken med hjälp av logik och andra satser som redan har bevisats.

F: Vad är ett lemma?


Svar: Ett lemma är en mindre sats som man måste bevisa för att bevisa en större sats.

F: Hur skapas satser?


S: Satser består av två delar - hypoteser och slutsatser - och använder sig av deduktion snarare än empiriska teorier.

F: Är alla satser svåra att bevisa?


S: Nej, vissa satser är triviala eftersom de följer direkt av satser, medan andra kräver långa och svåra bevis som involverar andra områden inom matematiken eller visar på kopplingar mellan olika områden.

F: Kan en sats vara enkel men ändå djupgående?


S: Ja, ett exempel på detta är Fermats sista sats, som är enkel att säga, men vars bevis är långa och svåra.

F: Finns det några satser för vilka ett bevis är känt men som inte lätt kan skrivas ner?


S: Ja, exempel på detta är fyrfärgssatsen och Keplers gissning som endast kan verifieras genom att köra dem i datorprogram.

F: Kan matematiska satser ibland reduceras till enklare beräkningar?



Svar: Ja, matematiska satser kan ibland reduceras till enklare beräkningar, t.ex. polynomiska identiteter, trigonometriska identiteter eller hypergeometriska identiteter.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3