Sats (teorem) – definition, bevismetoder och kända exempel
En sats är ett matematiskt påstående som har bevisats inom matematiken. Satser härleds med hjälp av logik tillsammans med axiom och andra satser som redan har bevisats. En sats som måste bevisas som ett steg mot ett större resultat kallas ofta ett lemma. En typisk sats består av två delar: antaganden eller förutsättningar och en slutsats — ibland kallade hypoteser respektive slutsatser.
Satser bygger på slutledningar, till skillnad från teorier som är empiriska. Det betyder att en sats får sin styrka från logiska härledningar från givna axiom, inte från observationer eller experiment.
Vissa satser är triviala i meningen att de följer direkt av definitioner eller redan kända resultat. Andra kallas "djupa": deras formulering kan vara enkel att förstå, men beviset är långt, tekniskt eller kräver nya idéer. Sådana bevis kan också föra samman områden inom matematiken och visa oväntade samband. Ett utmärkt exempel är Fermats sista sats, men det finns många andra enkla men djupa satser inom bland annat talteori och kombinatorik.
Det finns även satser där beviset är känt men praktiskt beskrivs som en omfattande beräkningskontroll. Klassiska exempel är fyrfärgssatsen och Keplers gissning. I dessa fall reduceras problemet till ett stort antal fall som kontrolleras av datorer. När metoden först användes var många matematiker skeptiska, men datorassisterade bevis har fått växande acceptans. Matematikern Doron Zeilberger har till och med uttryckt en radikal ståndpunkt om sådana bevis, vilket visar att diskussionen om vad som räknas som "förståelse" fortfarande pågår. Många identiteter och satser kan också reduceras till beräkningar, till exempel polynomidentiteter och hypergeometriska identiteter.
Struktur och språk i en sats
En sats är ofta formulerad med kvantifikatorer: "för alla" (universell kvantifikator) eller "det finns" (existentiell kvantifikator). En typisk sats kan vara av formen "Om A gäller (hypotes), så gäller B (slutsats)". Vissa satser uttrycks som ekvivalenser ("A om och endast om B"). Att läsa och skriva satser noggrant kräver uppmärksamhet på vilka variabler som kvantifieras och vilka antaganden som görs.
Vanliga bevismetoder
- Direkt bevis: härleder slutsatsen direkt från antaganden med logiska steg.
- Indirekt bevis (motsägelse): antar att slutsatsen är falsk och visar att detta leder till en motsägelse med antagandena eller axiom.
- Kontraposition: bevisar att den kontrapositionella satsen är sann (istället för "om A så B" bevisas "om inte B så inte A").
- Matematisk induktion: används för påståenden om naturliga tal; visar basfall och induktionssteg.
- Konstruerande bevis: visar existens genom att explicit konstruera ett objekt med önskade egenskaper.
- Bevis av icke-konstruktiv existens: visar att något måste existera utan att nödvändigtvis ge exempel (t.ex. via kompakthet eller räknemetoder).
- Probabilistisk metod: visar att ett objekt med vissa egenskaper finns genom sannolikhetsargument.
- Analytiska och algebraiska metoder: använder verktyg från analys, algebra eller topologi beroende på problemets natur.
Formella bevis, datorer och bevisassistenter
Utöver klassiska papper-och-penna-bevis finns idag system för formella bevis där varje steg verifieras av en dator. Program som Coq, Lean och Isabelle kan formalisera och maskinellt bevisa satser. Sådana system används både av forskare för att säkerställa korrekthet i komplicerade bevis och i undervisning. De bidrar också till diskussionen om datorassisterade bevis och vad som räknas som fullständigt bevis.
Relaterade begrepp
Ord som ofta förekommer tillsammans med "sats" är:
- Lemma: ett hjälpresultat som används för att bevisa ett större teorem.
- Korollarium: ett resultat som följer lätt från en sats.
- Proposition: ett påstående som är mindre centralt än ett teorem men ändå värt att formulera separat.
Signifikans och exempel
Satser är grunden för matematisk kunskap: de kapslar in vad som är bevisat och ger verktyg för att bygga vidare. Exempel som Fermats sista sats, fyrfärgssatsen och Keplers gissning visar hur olika bevismetoder — från djupa teoribildningar till omfattande datorberäkningar — alla spelar en roll i matematiken.
Sammanfattningsvis är en sats ett precist, bevisat påstående vars värde ligger både i dess innehåll och i de metoder som krävs för att bevisa det. För den som vill fördjupa sig är nästa steg att studera specifika bevismetoder och exempel inom olika områden av matematiken.
Pythagoras sats har minst 370 kända bevis.
Böcker
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, hämtat 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Mannen som bara älskade siffror: Historien om Paul Erdős och sökandet efter matematisk sanning. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Extern länk i
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Frågor och svar
F: Vad är en teorem?
S: En sats är en idé som har bevisats vara sann inom matematiken med hjälp av logik och andra satser som redan har bevisats.
F: Vad är ett lemma?
Svar: Ett lemma är en mindre sats som man måste bevisa för att bevisa en större sats.
F: Hur skapas satser?
S: Satser består av två delar - hypoteser och slutsatser - och använder sig av deduktion snarare än empiriska teorier.
F: Är alla satser svåra att bevisa?
S: Nej, vissa satser är triviala eftersom de följer direkt av satser, medan andra kräver långa och svåra bevis som involverar andra områden inom matematiken eller visar på kopplingar mellan olika områden.
F: Kan en sats vara enkel men ändå djupgående?
S: Ja, ett exempel på detta är Fermats sista sats, som är enkel att säga, men vars bevis är långa och svåra.
F: Finns det några satser för vilka ett bevis är känt men som inte lätt kan skrivas ner?
S: Ja, exempel på detta är fyrfärgssatsen och Keplers gissning som endast kan verifieras genom att köra dem i datorprogram.
F: Kan matematiska satser ibland reduceras till enklare beräkningar?
Svar: Ja, matematiska satser kan ibland reduceras till enklare beräkningar, t.ex. polynomiska identiteter, trigonometriska identiteter eller hypergeometriska identiteter.
