År 1900 publicerade matematikern David Hilbert en lista med 23 olösta matematiska problem. Listan visade sig vara mycket inflytelserik. Efter Hilberts död hittades ytterligare ett problem i hans skrifter; detta är ibland känt som Hilberts 24:e problem idag. Detta problem handlar om att hitta kriterier för att visa att en lösning på ett problem är så enkel som möjligt.

Av de 23 problemen var tre olösta 2012, tre var för vaga för att kunna lösas och sex kunde delvis lösas. Med tanke på problemens inflytande utarbetade Clay Mathematics Institute en liknande lista, kallad Millennium Prize Problems, år 2000.

Bakgrund och presentation

Hilbert presenterade sin lista vid International Congress of Mathematicians i Paris 1900. Syftet var att skissera viktiga riktningar för framtida forskning och att formulera centrala, svåra frågor som kunde stimulera nya metoder och teorier. Listan kom att fungera som ett slags karta över 1900-talets matematiska utveckling.

Några av de mest kända problemen och deras utfall

  • Continuumhypotesen (Hilberts första problem) — detta problem visade sig vara djupt kopplat till axiomatik och mängdlära. Under 1900-talet visades att hypotesen är oberoende av de vanliga mängdteoretiska axiomen (Zermelo–Fraenkel med valprincipen): resultaten av Gödel och Cohen innebär att hypotesen varken kan bevisas eller motbevisas från dessa axiomer.
  • Hilberts andra problem (konsistens för aritmetik) — arbetet med detta problem ledde till viktiga insikter inom logik och axiomatik. Kurt Gödel visade 1931 att det finns fundamentala begränsningar i vad som kan bevisas inom tillräckligt starka formella system, vilket slog undan möjligheten till en heltäckande, intern konsistensbevisning i den form Hilbert tänkt sig.
  • Hilberts tredje problem — handlar om likvärdighet mellan polyedrar genom stycken (dekomposition). Detta problem löstes tidigt av Max Dehn, som visade att vissa polyedrar inte kan delas upp och sättas ihop till varandra trots att de har samma volym.
  • Hilberts tionde problem — frågan om en algoritm för att avgöra om en given diofantisk ekvation har heltalslösningar. Problemet löstes negativt: på 1970-talet visade Yuri Matiyasevitj (bygger på arbete av Davis, Putnam och Robinson) att ingen sådan generell algoritm finns — problemet är oavgjordbar (undecidable).
  • Hilberts åttonde problem — innehåller bland annat Riemannhypotesen, en av de mest kända och fortfarande öppna frågorna inom talteori. Riemannhypotesen kvarstår som olöst och betraktas som en av de viktigaste öppna problemen i matematiken.
  • Andra problem — flera av Hilberts problem ledde till nya fält eller fick delvisa lösningar: exempelvis problem om axiomatisering av fysik (6:e), om topologiska gruppers struktur (5:e) och om algebraiska och analytiska frågor där djupa delresultat uppnåtts men fullständig lösning saknas eller kräver preciserade formuleringar (t.ex. delar av 16:e problemet).

Status och påverkan

Sammanfattningsvis kan man säga att Hilberts lista haft en enorm påverkan. Många problem löstes fullständigt, flera visade sig vara oavgjorda inom givna axiomatiska system (vilket gav viktiga insikter i logik och grundvalar), och flera problem gav upphov till helt nya teorier och metoder. Några problem blev också omformulerade eller visade sig vara för vagt formulerade för att ha ett entydigt svar.

Hilberts 24:e problem

Det som idag kallas Hilberts 24:e problem återfanns i hans efterlämnade anteckningar och handlade om kriterier för vad som bör räknas som en "kort" eller "enkel" matematisk lösning — alltså principer för att jämföra och förenkla bevis. Detta tema har senare dykt upp i arbeten kring bevisteori och komplexitetsteori, där man vill mäta och jämföra bevisens längd och komplexitet.

Efterföljare och moderna listor

Hilberts initiativ inspirerade senare listor över svåra öppna problem. Ett tydligt exempel är Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problems, som år 2000 formulerade sju centrala öppna problem med stora prissummor för lösningar. Liksom Hilberts lista har dessa problem både vetenskaplig och symbolisk betydelse; de pekar ut riktningar där framsteg skulle ge stora genombrott.

Hilberts 23 (och den senares 24:e) problem fungerar fortfarande som värdefulla milstolpar i matematikhistorien — inte bara för sina individuella lösningar utan framför allt för hur de har strukturerat forskningsprogram och stimulerat utvecklingen av modern matematik.