Hilberts problem – lista med 23 inflytelserika matematiska problem
Utforska Hilberts 23 inflytelserika matematiska problem från 1900 — deras historia, lösningar, olösta fall och betydelse inom modern matematik.
År 1900 publicerade matematikern David Hilbert en lista med 23 olösta matematiska problem. Listan visade sig vara mycket inflytelserik. Efter Hilberts död hittades ytterligare ett problem i hans skrifter; detta är ibland känt som Hilberts 24:e problem idag. Detta problem handlar om att hitta kriterier för att visa att en lösning på ett problem är så enkel som möjligt.
Av de 23 problemen var tre olösta 2012, tre var för vaga för att kunna lösas och sex kunde delvis lösas. Med tanke på problemens inflytande utarbetade Clay Mathematics Institute en liknande lista, kallad Millennium Prize Problems, år 2000.
Bakgrund och presentation
Hilbert presenterade sin lista vid International Congress of Mathematicians i Paris 1900. Syftet var att skissera viktiga riktningar för framtida forskning och att formulera centrala, svåra frågor som kunde stimulera nya metoder och teorier. Listan kom att fungera som ett slags karta över 1900-talets matematiska utveckling.
Några av de mest kända problemen och deras utfall
- Continuumhypotesen (Hilberts första problem) — detta problem visade sig vara djupt kopplat till axiomatik och mängdlära. Under 1900-talet visades att hypotesen är oberoende av de vanliga mängdteoretiska axiomen (Zermelo–Fraenkel med valprincipen): resultaten av Gödel och Cohen innebär att hypotesen varken kan bevisas eller motbevisas från dessa axiomer.
- Hilberts andra problem (konsistens för aritmetik) — arbetet med detta problem ledde till viktiga insikter inom logik och axiomatik. Kurt Gödel visade 1931 att det finns fundamentala begränsningar i vad som kan bevisas inom tillräckligt starka formella system, vilket slog undan möjligheten till en heltäckande, intern konsistensbevisning i den form Hilbert tänkt sig.
- Hilberts tredje problem — handlar om likvärdighet mellan polyedrar genom stycken (dekomposition). Detta problem löstes tidigt av Max Dehn, som visade att vissa polyedrar inte kan delas upp och sättas ihop till varandra trots att de har samma volym.
- Hilberts tionde problem — frågan om en algoritm för att avgöra om en given diofantisk ekvation har heltalslösningar. Problemet löstes negativt: på 1970-talet visade Yuri Matiyasevitj (bygger på arbete av Davis, Putnam och Robinson) att ingen sådan generell algoritm finns — problemet är oavgjordbar (undecidable).
- Hilberts åttonde problem — innehåller bland annat Riemannhypotesen, en av de mest kända och fortfarande öppna frågorna inom talteori. Riemannhypotesen kvarstår som olöst och betraktas som en av de viktigaste öppna problemen i matematiken.
- Andra problem — flera av Hilberts problem ledde till nya fält eller fick delvisa lösningar: exempelvis problem om axiomatisering av fysik (6:e), om topologiska gruppers struktur (5:e) och om algebraiska och analytiska frågor där djupa delresultat uppnåtts men fullständig lösning saknas eller kräver preciserade formuleringar (t.ex. delar av 16:e problemet).
Status och påverkan
Sammanfattningsvis kan man säga att Hilberts lista haft en enorm påverkan. Många problem löstes fullständigt, flera visade sig vara oavgjorda inom givna axiomatiska system (vilket gav viktiga insikter i logik och grundvalar), och flera problem gav upphov till helt nya teorier och metoder. Några problem blev också omformulerade eller visade sig vara för vagt formulerade för att ha ett entydigt svar.
Hilberts 24:e problem
Det som idag kallas Hilberts 24:e problem återfanns i hans efterlämnade anteckningar och handlade om kriterier för vad som bör räknas som en "kort" eller "enkel" matematisk lösning — alltså principer för att jämföra och förenkla bevis. Detta tema har senare dykt upp i arbeten kring bevisteori och komplexitetsteori, där man vill mäta och jämföra bevisens längd och komplexitet.
Efterföljare och moderna listor
Hilberts initiativ inspirerade senare listor över svåra öppna problem. Ett tydligt exempel är Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problems, som år 2000 formulerade sju centrala öppna problem med stora prissummor för lösningar. Liksom Hilberts lista har dessa problem både vetenskaplig och symbolisk betydelse; de pekar ut riktningar där framsteg skulle ge stora genombrott.
Hilberts 23 (och den senares 24:e) problem fungerar fortfarande som värdefulla milstolpar i matematikhistorien — inte bara för sina individuella lösningar utan framför allt för hur de har strukturerat forskningsprogram och stimulerat utvecklingen av modern matematik.
Sammanfattning
Vissa problem är bättre formulerade än andra. Av de rent formulerade Hilbert-problemen har problemen 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 och 21 en lösning som accepteras i samförstånd. Å andra sidan har problemen 1, 2, 5, 9, 15, 18+ och 22 lösningar som delvis accepteras, men det råder viss oenighet om huruvida de löser problemet.
Lösningen på problem 18, Keplers gissning, är ett datorstödd bevis. Detta är kontroversiellt, eftersom en mänsklig läsare inte kan kontrollera beviset på rimlig tid.
Då återstår 16, 8 (Riemannhypotesen) och 12 olösta. Enligt denna klassificering är 4, 16 och 23 för vaga för att någonsin kunna beskrivas som lösta. Den tillbakadragna 24 skulle också höra till denna klass. 6 betraktas som ett problem inom fysiken snarare än inom matematiken.
Tabell över problem
Hilberts tjugotre problem är:
| Problem | Kort förklaring | Status | År löst |
| 1:a | Kontinuumshypotesen (det vill säga att det inte finns någon mängd vars kardinalitet ligger strikt mellan de hela och de reella talen). | Det har visat sig vara omöjligt att bevisa eller motbevisa inom Zermelo-Fraenkels mängdteori med eller utan valfrihetsaxiomet (förutsatt att Zermelo-Fraenkels mängdteori med eller utan valfrihetsaxiomet är konsekvent, dvs. att den inte innehåller två satser där den ena är en negation av den andra). Det råder ingen enighet om huruvida detta är en lösning på problemet. | 1963 |
| 2:a | Visa att aritmetikens axiom är konsekventa. | Det råder ingen enighet om huruvida Gödels och Gentzens resultat ger en lösning på Hilberts problem. Gödels andra ofullständighetssats, som bevisades 1931, visar att inget bevis för dess konsistens kan utföras inom själva aritmetiken. Gentzens konsistensbevis (1936) visar att aritmetikens konsistens följer av att ordinalen ε0 är välgrundad. | 1936? |
| 3:e | Givet två polyeder av samma volym, är det alltid möjligt att dela det första i ändligt många polyederdelar som kan sättas ihop till det andra? | Löses. Resultat: Nej, bevisat med hjälp av Dehn-invarianter. | 1900 |
| 4:e | Konstruera alla metriker där linjerna är geodetiska linjer. | För vagt för att man ska kunna säga om det är löst eller inte. | - |
| 5:e | Är kontinuerliga grupper automatiskt differentiella grupper? | Löses av Andrew Gleason eller Hidehiko Yamabe, beroende på hur det ursprungliga uttalandet tolkas. Om det dock uppfattas som en motsvarighet till Hilbert-Smiths gissning är det fortfarande olöst. | 1953? |
| 6:e | Axiomatiserar hela fysiken | Delvis löst. | - |
| 7:e | Är a btranscendentalt för algebraisk a ≠ 0,1 och irrationell algebraisk b ? | Löses. Resultat: Ja, vilket illustreras av Gelfonds sats eller Gelfond-Schneider-satsen. | 1934 |
| 8:e | Riemannhypotesen ("den reella delen av varje icke-trivial nollpunkt i Riemanns zeta-funktion är ½") och andra problem med primtal, bland annat Goldbachs gissning och gissningen om tvillingprimtal. | Olösta frågor. | - |
| 9:e | Hitta den mest generella lagen för reciprocitetssatsen i alla algebraiska talfält. | Delvis löst. | - |
| 10:e | Hitta en algoritm för att avgöra om en given polynomial diofantinsk ekvation med heltalskoefficienter har en helhetslösning. | Löses. Resultat: omöjligt, Matiyasevichs sats innebär att det inte finns någon sådan algoritm. | 1970 |
| 11:e | Lösning av kvadratiska former med algebraiska numeriska koefficienter. | Delvis löst. [] | - |
| 12:e | Utvidga Kronecker-Webers sats om abeliska utvidgningar av de rationella talen till att gälla alla basala talfält. | Delvis löst av klassfältsteorin, även om lösningen inte är lika tydlig som Kronecker-Weber-satsen. | - |
| 13:e | Lösning av 7:e gradens ekvationer med hjälp av kontinuerliga funktioner med två parametrar. | Olösta frågor. Problemet löstes delvis av Vladimir Arnold, baserat på Andrey Kolmogorovs arbete. | 1957 |
| 14:e | Är ringen av invarianter av en algebraisk grupp som verkar på en polynomialring alltid ändligt genererad? | Löses. Resultat: Nej, motexemplet konstruerades av Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15:e | Rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl. | Delvis löst. [] | - |
| 16:e | Beskriv relativa positioner för ovaler som har sitt ursprung i en verklig algebraisk kurva och som gränscykler för ett polynomiskt vektorfält på planet. | Olösta frågor. | - |
| 17:e | Uttryck för en bestämd rationell funktion som kvot av kvadratsummor | Beslut av Emil Artin och Charles Delzell. Resultat: En övre gräns har fastställts för det antal kvadratermer som krävs. Att hitta en nedre gräns är fortfarande ett öppet problem. | 1927 |
| 18:e | (a) Finns det en polyeder som endast tillåter en anisoedrisk kakelkonstruktion i tre dimensioner? ( | (a) Beslut. Resultat: ja (av Karl Reinhardt). | (a) 1928 ( |
| 19:e | Är Lagrangians lösningar alltid analytiska? | Löses. Resultat: Ja, bevisat av Ennio de Giorgi och, oberoende av varandra och med olika metoder, av John Forbes Nash. | 1957 |
| 20:e | Har alla variationsproblem med vissa randvillkor lösningar? | Löses. Ett viktigt ämne för forskning under hela 1900-talet, som kulminerade i lösningar[] för det icke-linjära fallet. | - |
| 21:a | Bevis för existensen av linjära differentialekvationer med en föreskriven monodromisk grupp | Löses. Resultat: Ja eller nej, beroende på mer exakta formuleringar av problemet. [] | - |
| 22:a | Uniformisering av analytiska relationer med hjälp av automorfa funktioner | Löses. [] | - |
| 23:e | Vidareutveckling av variationskalkylen | Olösta frågor. | - |
Frågor och svar
F: Vem publicerade en lista över 23 olösta matematiska problem år 1900?
S: David Hilbert publicerade en lista över 23 olösta matematiska problem år 1900.
F: Var Hilberts 24:e problem en del av den ursprungliga listan?
S: Nej, Hilberts 24:e problem hittades i Hilberts skrifter efter hans död.
F: Vad handlar Hilberts 24:e problem om?
S: Hilberts 24:e problem handlar om att hitta kriterier för att visa att en lösning på ett problem är den enklaste möjliga.
F: Var alla 23 problem på Hilberts lista lösta 2012?
S: Nej, tre av de 23 problemen på Hilberts lista var olösta 2012.
F: Var något av problemen på Hilberts lista för vagt för att kunna lösas?
S: Ja, tre av problemen på Hilberts lista var för vaga för att kunna lösas.
F: Hur många av problemen på Hilberts lista kunde delvis lösas?
S: Sex av problemen på Hilberts lista kunde delvis lösas.
F: Skapade Clay Mathematics Institute en liknande lista som Hilberts problem?
S: Ja, Clay Mathematics Institute skapade en liknande lista kallad Millennium Prize Problems år 2000.
Sök