Hilberts problem
År 1900 publicerade matematikern David Hilbert en lista med 23 olösta matematiska problem. Listan visade sig vara mycket inflytelserik. Efter Hilberts död hittades ytterligare ett problem i hans skrifter; detta är ibland känt som Hilberts 24:e problem idag. Detta problem handlar om att hitta kriterier för att visa att en lösning på ett problem är så enkel som möjligt.
Av de 23 problemen var tre olösta 2012, tre var för vaga för att kunna lösas och sex kunde delvis lösas. Med tanke på problemens inflytande utarbetade Clay Mathematics Institute en liknande lista, kallad Millennium Prize Problems, år 2000.
Sammanfattning
Vissa problem är bättre formulerade än andra. Av de rent formulerade Hilbert-problemen har problemen 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 och 21 en lösning som accepteras i samförstånd. Å andra sidan har problemen 1, 2, 5, 9, 15, 18+ och 22 lösningar som delvis accepteras, men det råder viss oenighet om huruvida de löser problemet.
Lösningen på problem 18, Keplers gissning, är ett datorstödd bevis. Detta är kontroversiellt, eftersom en mänsklig läsare inte kan kontrollera beviset på rimlig tid.
Då återstår 16, 8 (Riemannhypotesen) och 12 olösta. Enligt denna klassificering är 4, 16 och 23 för vaga för att någonsin kunna beskrivas som lösta. Den tillbakadragna 24 skulle också höra till denna klass. 6 betraktas som ett problem inom fysiken snarare än inom matematiken.
Tabell över problem
Hilberts tjugotre problem är:
| Problem | Kort förklaring | Status | År löst |
| 1:a | Kontinuumshypotesen (det vill säga att det inte finns någon mängd vars kardinalitet ligger strikt mellan de hela och de reella talen). | Det har visat sig vara omöjligt att bevisa eller motbevisa inom Zermelo-Fraenkels mängdteori med eller utan valfrihetsaxiomet (förutsatt att Zermelo-Fraenkels mängdteori med eller utan valfrihetsaxiomet är konsekvent, dvs. att den inte innehåller två satser där den ena är en negation av den andra). Det råder ingen enighet om huruvida detta är en lösning på problemet. | 1963 |
| 2:a | Visa att aritmetikens axiom är konsekventa. | Det råder ingen enighet om huruvida Gödels och Gentzens resultat ger en lösning på Hilberts problem. Gödels andra ofullständighetssats, som bevisades 1931, visar att inget bevis för dess konsistens kan utföras inom själva aritmetiken. Gentzens konsistensbevis (1936) visar att aritmetikens konsistens följer av att ordinalen ε0 är välgrundad. | 1936? |
| 3:e | Givet två polyeder av samma volym, är det alltid möjligt att dela det första i ändligt många polyederdelar som kan sättas ihop till det andra? | Löses. Resultat: Nej, bevisat med hjälp av Dehn-invarianter. | 1900 |
| 4:e | Konstruera alla metriker där linjerna är geodetiska linjer. | För vagt för att man ska kunna säga om det är löst eller inte. | - |
| 5:e | Är kontinuerliga grupper automatiskt differentiella grupper? | Löses av Andrew Gleason eller Hidehiko Yamabe, beroende på hur det ursprungliga uttalandet tolkas. Om det dock uppfattas som en motsvarighet till Hilbert-Smiths gissning är det fortfarande olöst. | 1953? |
| 6:e | Axiomatiserar hela fysiken | Delvis löst. | - |
| 7:e | Är a btranscendentalt för algebraisk a ≠ 0,1 och irrationell algebraisk b ? | Löses. Resultat: Ja, vilket illustreras av Gelfonds sats eller Gelfond-Schneider-satsen. | 1934 |
| 8:e | Riemannhypotesen ("den reella delen av varje icke-trivial nollpunkt i Riemanns zeta-funktion är ½") och andra problem med primtal, bland annat Goldbachs gissning och gissningen om tvillingprimtal. | Olösta frågor. | - |
| 9:e | Hitta den mest generella lagen för reciprocitetssatsen i alla algebraiska talfält. | Delvis löst. | - |
| 10:e | Hitta en algoritm för att avgöra om en given polynomial diofantinsk ekvation med heltalskoefficienter har en helhetslösning. | Löses. Resultat: omöjligt, Matiyasevichs sats innebär att det inte finns någon sådan algoritm. | 1970 |
| 11:e | Lösning av kvadratiska former med algebraiska numeriska koefficienter. | Delvis löst. [] | - |
| 12:e | Utvidga Kronecker-Webers sats om abeliska utvidgningar av de rationella talen till att gälla alla basala talfält. | Delvis löst av klassfältsteorin, även om lösningen inte är lika tydlig som Kronecker-Weber-satsen. | - |
| 13:e | Lösning av 7:e gradens ekvationer med hjälp av kontinuerliga funktioner med två parametrar. | Olösta frågor. Problemet löstes delvis av Vladimir Arnold, baserat på Andrey Kolmogorovs arbete. | 1957 |
| 14:e | Är ringen av invarianter av en algebraisk grupp som verkar på en polynomialring alltid ändligt genererad? | Löses. Resultat: Nej, motexemplet konstruerades av Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15:e | Rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl. | Delvis löst. [] | - |
| 16:e | Beskriv relativa positioner för ovaler som har sitt ursprung i en verklig algebraisk kurva och som gränscykler för ett polynomiskt vektorfält på planet. | Olösta frågor. | - |
| 17:e | Uttryck för en bestämd rationell funktion som kvot av kvadratsummor | Beslut av Emil Artin och Charles Delzell. Resultat: En övre gräns har fastställts för det antal kvadratermer som krävs. Att hitta en nedre gräns är fortfarande ett öppet problem. | 1927 |
| 18:e | (a) Finns det en polyeder som endast tillåter en anisoedrisk kakelkonstruktion i tre dimensioner? ( | (a) Beslut. Resultat: ja (av Karl Reinhardt). | (a) 1928 ( |
| 19:e | Är Lagrangians lösningar alltid analytiska? | Löses. Resultat: Ja, bevisat av Ennio de Giorgi och, oberoende av varandra och med olika metoder, av John Forbes Nash. | 1957 |
| 20:e | Har alla variationsproblem med vissa randvillkor lösningar? | Löses. Ett viktigt ämne för forskning under hela 1900-talet, som kulminerade i lösningar[] för det icke-linjära fallet. | - |
| 21:a | Bevis för existensen av linjära differentialekvationer med en föreskriven monodromisk grupp | Löses. Resultat: Ja eller nej, beroende på mer exakta formuleringar av problemet. [] | - |
| 22:a | Uniformisering av analytiska relationer med hjälp av automorfa funktioner | Löses. [] | - |
| 23:e | Vidareutveckling av variationskalkylen | Olösta frågor. | - |
Frågor och svar
F: Vem publicerade en lista över 23 olösta matematiska problem år 1900?
S: David Hilbert publicerade en lista över 23 olösta matematiska problem år 1900.
F: Var Hilberts 24:e problem en del av den ursprungliga listan?
S: Nej, Hilberts 24:e problem hittades i Hilberts skrifter efter hans död.
F: Vad handlar Hilberts 24:e problem om?
S: Hilberts 24:e problem handlar om att hitta kriterier för att visa att en lösning på ett problem är den enklaste möjliga.
F: Var alla 23 problem på Hilberts lista lösta 2012?
S: Nej, tre av de 23 problemen på Hilberts lista var olösta 2012.
F: Var något av problemen på Hilberts lista för vagt för att kunna lösas?
S: Ja, tre av problemen på Hilberts lista var för vaga för att kunna lösas.
F: Hur många av problemen på Hilberts lista kunde delvis lösas?
S: Sex av problemen på Hilberts lista kunde delvis lösas.
F: Skapade Clay Mathematics Institute en liknande lista som Hilberts problem?
S: Ja, Clay Mathematics Institute skapade en liknande lista kallad Millennium Prize Problems år 2000.
