Grahams tal (Grahams nummer)
Grahams tal är ett ändligt men otroligt stort heltal framställt av Ronald Graham i samband med ett problem i Ramsey-teori. Det fungerar som en övre gräns och illustrerar extrem tillväxt i stora tal.
Översikt
Grahams tal är ett ändligt, väldefinierat heltal som blev berömt för sin enorma storlek. Talet introducerades av matematikern Ronald Graham i samband med ett problem inom Ramsey-teori. Det användes som ett konkret övre gränsvärde i ett resonemang; själva problemet kräver egentligen endast någon ändlig gräns, men Grahams tal illustrerar hur snabbt sådana gränser kan växa i extrema fall.
Definition och tillväxt
Grahams tal definieras inte genom en enkel decimalutveckling utan genom en rekursiv process med mycket kraftfulla uppåtpilar (Knuths "up-arrow"-notation). I korthet byggs en följd av tal där varje nytt led är ett uttryck med ett mycket stort antal uppåtpilar beroende på det föregående ledet. Efter ett bestämt antal sådana steg (ofta citerat som 64 steg i populärvetenskapliga framställningar) får man Grahams tal. Även om talet är ändligt växer det snabbare än vad någon vanlig exponentiell eller itererad exponentiell funktion kan beskriva.
Historia och sammanhang
Idén uppstod när Graham och andra studerade färgningar av hörn i högdimensionella hyperkubiska grafer och försökte hitta pålitliga övre gränser för när en viss struktur måste uppträda. Trots att Grahams tal gav en användbar övre gräns har senare arbete i fältet lett till mycket mindre, mer användbara gränsvärden för det ursprungliga problemet. Grahams bidrag blev ändå betydelsefullt eftersom det visade ett konkret exempel på hur stora sådana gränser kan vara.
Egenskaper och exempel
- Ändligt men ofattbart stort: Grahams tal är ett bestämt heltal, men dess storlek överstiger radikalt vad som kan beskrivas med vanliga talformat eller ens skrivas ut i hela universum.
- Byggt av rekursion: Konstruktionen använder upprepade operationer som snabbt ökar antalet uppåtpilar och därmed magiskt ökar talets storlek.
- Praktisk användning: Talet används i huvudsak som ett teoretiskt övre gränsvärde och inte som ett numeriskt verktyg i tillämpningar.
Betydelse och notabla fakta
Grahams tal har blivit en ikon i populär matematik när det gäller stora tal och illustrerar skillnaden mellan "väldigt stort" och "oändligt": talet är långt ifrån oändligt, men ändå så stort att ingen praktisk representation är möjlig. Vissa delar av talet, såsom ett antal avslutande siffror, kan bestämmas med hjälp av modularitet, men den fullständiga decimalutvecklingen är omöjlig att skriva ut. För vidare läsning om definition, matematiskt sammanhang och populärförklaringar, se särskilda introduktioner och översikter om stora tal och Ramsey-teori (definition, stora tal, observerbara universum).
Grahams tal har en plats i både matematikhistoria och populärkultur: det används som exempel på hur matematiska resonemang kan leda till gränsvärden som vida överstiger vår intuitiva föreställningsförmåga. Trots sin berömmelse handlar det i grunden om ett verktyg i ett bevis snarare än ett tal med direkt numerisk betydelse.
Kontext
Ramseyteori är ett område inom matematiken där man ställer frågor som följande:
Antag att vi ritar ett antal punkter och att varje par punkter förbinds med en linje. Vissa linjer är blå och andra är röda. Kan vi alltid hitta tre punkter för vilka de tre linjer som förbinder dem alla har samma färg?
Det visar sig att för detta enkla problem är svaret "ja" när vi har 6 eller fler punkter, oavsett hur linjerna är färgade. Men när vi har 5 eller färre punkter kan vi färga linjerna så att svaret blir "nej".
Återigen, låt oss säga att vi har några punkter, men nu är de hörnen av en n-dimensionell hyperkub. De är fortfarande förbundna med blå och röda linjer. För fyra punkter finns det sex linjer som förbinder dem. Kan vi hitta 4 punkter som alla ligger på ett plan och där de 6 linjerna som förbinder dem alla har samma färg?
Genom att kräva att de fyra punkterna ska ligga på ett plan har vi gjort problemet mycket svårare. Vi skulle vilja veta: för vilka värden av n är svaret "nej" (för vissa sätt att färga linjerna), och för vilka värden av n är det "ja" (för alla sätt att färga linjerna)? Men detta problem har ännu inte lösts helt och hållet.
År 1971 hittade Ronald Graham och B. L. Rothschild ett partiellt svar på detta problem. De visade att för n=6 är svaret "nej". Men när n är mycket stort, lika stort som Grahams tal eller större, är svaret "ja".
En av anledningarna till att detta partiella svar är viktigt är att det betyder att svaret till slut är "ja" för åtminstone ett visst stort n. Före 1971 visste vi inte ens så mycket.
Det finns en mycket mindre gräns för samma problem som kallas N. Den är lika med 
, där 
. Denna svagare övre gräns för problemet, som tillskrivs ett opublicerat arbete av Graham, publicerades slutligen och namngavs av Martin Gardner i Scientific American i november 1977.
Definition
Grahams tal är inte bara för stort för att skriva ner alla dess siffror, det är till och med för stort för att skrivas i vetenskaplig notation. För att kunna skriva ner det måste vi använda Knuths uppåtpilar.
Vi skriver ner en sekvens av tal som vi kallar g1, g2, g3 och så vidare. Varje tal kommer att användas i en ekvation för att hitta nästa. g64 är Grahams nummer.
Här är några exempel på uppåtriktade pilar:
är 3x3x3 vilket är lika med 27. En pil mellan två tal betyder bara att det första talet multipliceras med sig självt det andra antalet gånger.- Man kan se
som 
eftersom två pilar mellan A och B bara betyder att A skrivs ner ett antal gånger med en pil mellan varje A. Eftersom vi vet vad enstaka pilar är, är 3 multiplicerat med sig själv gånger och vi vet att är tjugosju. Så är 3x3x3x3x3x....x3x3x3, totalt 27 gånger. Det är lika med 7 625 597 484 987. 
är 
och vi vet att är 7,625,597,484,987. Så är 
. Det kan också skrivas som 
med totalt 7 625 597 484 987 3s. Detta tal är så enormt att dess siffror, även om de skrivs mycket små, skulle kunna fylla hela det observerbara universumet och bortom det.- Även om denna siffra kanske redan är obegriplig, är detta knappt början på denna gigantiska siffra.
- Nästa steg är
eller 
. Detta är det tal som vi kallar g1.
Därefter är g2 lika med 
; antalet pilar i detta antal är g1.
g3 är lika med 
, där antalet pilar är g2.
Vi fortsätter på detta sätt. Vi slutar när vi definierar g64 som , där antalet pilar är g63.
Detta är Grahams nummer.
Relaterade sidor
- Knuths uppåt-pil notation
Frågor och svar
Fråga: Vem definierade Grahams nummer?
S: Ronald Graham definierade Grahams nummer.
F: Inom vilket område av matematiken arbetade Ronald Graham när han definierade talet?
S: Ronald Graham arbetade inom ett område av matematiken som kallas Ramsey-teori när han definierade talet.
Fråga: Vad bevisade Ronald Graham med sitt problem?
S: Ronald Graham bevisade att svaret på hans problem var mindre än Grahams tal.
F: Hur stort är Grahams tal jämfört med andra tal som används i matematiska bevis?
S: Grahams tal är ett av de största tal som någonsin använts i ett matematiskt bevis.
Fråga: Om varje siffra i talet skrevs, skulle det passa in i det observerbara universum?
S: Även om varje siffra i Grahams tal skrevs med minsta möjliga skrift skulle det fortfarande vara för stort för att rymmas i det observerbara universum.
F: Finns det något sätt att beräkna eller uppskatta hur stort detta tal är?
S: Det finns inget exakt sätt att beräkna eller uppskatta hur stort just detta naturliga tal är, eftersom det inte har bestämts helt och hållet ännu.
F: Varför finns ett så stort naturligt tal och vilket syfte har det?
S: Detta mycket stora naturliga tal existerar eftersom det användes av Ronald Grahm som en del av ett matematiskt bevis och tjänar som en övre gräns för hans lösning.
Relaterade artiklar
Författare
AlegsaOnline.com Grahams tal (Grahams nummer) Leandro Alegsa
URL: https://sv.alegsaonline.com/art/40102