Hyperkub: definition och egenskaper hos n-dimensionella kuber

Lär dig allt om hyperkub: definition, egenskaper hos n‑dimensionella kuber, enhetshyperkubens struktur och längsta diagonal √n — klar och illustrativ guide.

Inom geometrin är en hyperkub en n-dimensionell analog till en kvadrat (n = 2) och en kub (n = 3). Det är en sluten, kompakt, konvex figur vars 1-skelett består av grupper av motsatta parallella linjesegment som är riktade i var och en av rummets dimensioner, vinkelräta mot varandra och av samma längd. En enhetshyperkubas längsta diagonal i n dimensioner är lika med .

En n-dimensionell hyperkub kallas också för en n-kub eller en n-dimensionell kub. Termen "measure polytope" används också, särskilt i H. S. M. Coxeters arbete (ursprungligen från Elte, 1912), men den har nu ersatts.

Hyperkuben är ett specialfall av en hyperrektangel (även kallad n-orthotop). En enhetshyperkub är en hyperkub vars sida har en längd på en enhet. Ofta kallas den hyperkub vars hörn (eller hörn) är de 2n punkter i Rn med varje koordinat lika med 0 eller 1 för "enhetshyperkub". Ett annat vanligen använt val är hyperkuben centrerad i origo med hörn i alla punkter där varje koordinat är ±1, beroende på vilket koordinatsystem som är mest lämpligt för problemställningen.

Grundläggande egenskaper och räkneformler

• Koordinatbeskrivning: Hyperkuben kan beskrivas som produktmängden [0,1]^n eller som mängden av alla binära vektorer {0,1}^n. Två hörn är förbundna med en kant precis när de skiljer sig i exakt en koordinat.
• Antal hörn, kanter och högre-dimensionella sidor (k-ytor): Antalet k-dimensionella sidor hos en n-kub ges av formeln
  antal(k-ytor) = C(n,k) · 2^{n-k},
  där C(n,k) är binomialkoefficienten. Särskilda fall: hörn (k=0) = 2^n, kanter (k=1) = n·2^{n-1}, facetterna (k=n−1) = 2n.
• Hypervolym: Om sidlängden är a är hyperkubsinnehållet (hypervolymen) a^n. För en enhetshyperkub (a = 1) är hypervolymen 1.
• Circumradius och inradius: För en hyperkub med sidlängd a är avståndet från centrum till ett hörn (circumradius) = a·√n / 2, och avståndet från centrum till en facet (inradius) = a / 2. För den binära enhetshyperkuben {0,1}^n ligger centrum i (1/2,...,1/2) och circumradius = √n / 2.
• Symmetrier: Hyperkuben är centralsymmetrisk och dess symmetrigrupp är hyperoctahedralgruppen (ibland betecknad Bn), som består av alla permutationer av koordinaterna tillsammans med oberoende byten av tecken (i den versionen centrerad i origo).
• Dual polytope: Den geometriska dualen till en n-kub är en n-dimensionell kors-kub (cross-polytope eller n-orthoplex).

Specifika exempel

• n = 1: intervallet [0,1] (1-kub).
• n = 2: kvadraten (2-kub).
• n = 3: vanliga kuben (3-kub).
• n = 4: tesserakten eller 4-kuben — denna kan visualiseras via projektioner eller Schlegel-diagram och har 16 hörn, 32 kanter, 24 kvadratiska ytor och 8 kubiska celler (facetter).

Graf- och kombinatoriska samband

• Hypercubegraphen Q_n: 1-skelettet hos en n-kub bildar den så kallade hypercube- eller n-cube-graphen Q_n — en regelbunden, bipartit graf med 2^n noder och grad n. Den används ofta inom datavetenskap (t.ex. i nätverksdesign) och kombinatorik.
• Binära koder och Gray-kod: Hörnen kan numreras med binära tal. En Gray-kod ger en Hamiltonsk väg i hyperkubgrafen där intilliggande hörn skiljer sig i endast en bit.

Visualisering och uppbyggnad

• Hyperkubens högre-dimensionella natur gör att man ofta använder projektioner, Schlegel-diagram eller perspektivbilder för att visualisera den i två eller tre dimensioner.
• En tesseract (4-kub) kan exempelvis ritas som en litet kub inuti en större kub där motsvarande hörn är förbundna — detta är en projektion, inte en exakt avbildning i 3D.
• Hyperkuber kan också "utvikas" till nät (generaliserat net för högre dimensioner) på motsvarande sätt som en vanlig kub kan utvecklas till sex kvadrater i planet.

Tillämpningar och sammanhang

• Hyperkubens struktur används inom optimering, sannolikhetsteori (slumpfördelningar på {0,1}^n), maskininlärning (till exempel hyperparameterrum), och i teoretiska studier av högdimensionella rymder.
• I kombinatorik och grafteori fungerar den som ett naturligt exempel på höggradiga, välstrukturerade grafer och fungerar som modell för hypernätverk.

Sammanfattning

Hyperkuben är ett fundamentalt och välstuderat objekt i både euklidisk geometri och kombinatorik. Den kan beskrivas enkelt som produktintervallet [0,1]^n eller mängden {0,1}^n, har 2^n hörn, n·2^{n-1} kanter och facetterna räknas till 2n. Mått och radier följer enkla formler beroende på sidlängden, och dess symmetrier och duala relationer gör hyperkuben till en central byggsten i studiet av högre-dimensionella polytoper.

Konstruktion

En hyperkub kan definieras genom att öka antalet dimensioner i en form:

0 - En punkt är en hyperkub med dimension noll.

1 - Om man flyttar denna punkt en längdenhet kommer den att svepa ut ett linjesträck, vilket är en hyperkub av dimension ett.

2 - Om man förflyttar detta linjesträck i en vinkelrät riktning från sig själv, så sveper det ut en tvådimensionell kvadrat.

3 - Om man flyttar kvadraten en längdenhet i riktning vinkelrätt mot det plan den ligger på, kommer det att skapa en tredimensionell kub.

4 - Om man flyttar kuben en enhetslängd in i den fjärde dimensionen skapas en 4-dimensionell enhetshyperkub (en enhetstesserakt).

Detta kan generaliseras till ett obegränsat antal dimensioner. Denna process att svepa ut volymer kan formaliseras matematiskt som en Minkowskisumma: den d-dimensionella hyperkuben är Minkowskisumman av d ömsesidigt vinkelräta linjesträckor av enhetslängd, och är därför ett exempel på en zonotop.

Ett hyperkubes 1-skelett är en hyperkubegrafi.

Ett diagram som visar hur man skapar en tesserakt från en punkt.


En animation som visar hur man skapar en tesserakt från en punkt.

Frågor och svar

F: Vad är en hyperkub?

Fråga: Vilken är den längsta diagonalen i en n-dimensionell hyperkub?

F: Finns det en annan term för en n-dimensionell hyperkub?

F: Vad betyder "unit hypercube"?

F: Hur kan vi definiera en "hyperrektangel"?

Sök med bokstav