Hoppa till innehållet
Hem

Dimension: rumsliga, tidsmässiga och matematiska mått

En översikt av begreppet dimension — vardagliga tre dimensioner, matematisk definition, rumtid i fysiken, olika typer av dimensioner och hur de mäts.

Författare: Skapad: Uppdaterad:

Översikt

Begreppet dimension är ett sätt att beskriva hur vi uppfattar, ordnar och kvantifierar världen. I vardagligt tal talar man om upp och ner, höger och vänster eller längd och bredd, men begreppet används också för temperatur och andra storheter. En enkel introduktion finns ofta under ordet mått, och empiriska aspekter av upplevelse berörs i diskussioner om perception. Kontraster mellan varma och kalla tillstånd återfinns i termodynamiska beskrivningar (värme, kylning). {\displaystyle V}

Bildgalleri

4 Bilder
Squarecubetesseract
simple.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Matematisk definition och vektorrum

I matematik ges en formell definition av dimension inom linjär algebra och topologi. För ett vektorrum finns begreppet dimension som antalet vektorer i en bas; dessa vektorer visar de oberoende riktningar som spänner upp rummet. Inom fysiken och vissa tillämpningar refereras ofta till frihetsgrader som ett praktiskt mått på hur ett system kan röra sig eller förändras. Begreppet frihetsgrader kan vara avgörande när man räknar ut rörelse i mekanik (grad av frihet) eller analyserar parametrar i modeller. Ett vektorrum betecknas ofta V (vektorrum) och dess element, vektorerna, illustrerar riktningar och storlekar (vektorer). Kardinaliteten hos en bas kan beskrivas i termer av kardinalitet och en bas är en minimal uppsättning som ändå spänner upp hela rummet (bas). I praktiska exempel talar man om längd, bredd och djup i ett tredimensionellt euklidiskt rum (euklidiskt rum). {\displaystyle V}

Rum, position och mätning

Dimensioner används för att bestämma positioner i rummet: avstånd och riktning från en referenspunkt. Begrepp som position, avstånd och ursprung är centrala för koordinatsystem och navigation. I tredimensionella system kan avstånd mätas i längd-, bredd- och höjdriktning (koordinatriktningar). {\displaystyle \dim(V)}

Fysik: tid som fjärde dimension

I modern fysik betraktas tid ofta som en dimension jämförbar med de rumsliga. I den speciella relativitetsteorin kombineras rum och tid till ett fyrdimensionellt begrepp, där bana och händelser beskriver var i rumtiden något sker (4D, tid). En händelses läge anges både i rummet och i tiden (händelse), och detta syns tydligt i formuleringen rumtid. Denna sammansmältning förändrar hur man tolkar avstånd och samtidighet i höga hastigheter eller starka gravitationsfält. {\displaystyle V}

Typer av dimensioner och relevanta skillnader

  • Topologisk dimension: beskriver hur en rymd lokalt ser ut, t.ex. en kurva (1D) eller yta (2D).
  • Fraktaldimension: ett mått som kan vara icke-heltaligt och beskriver komplexitet och skalningsbeteende.
  • Affin och linjär dimension: används i algebraiska sammanhang, beroende på om man räknar riktningar eller positioner.
  • Datadimension: i statistik och maskininlärning är dimension antalet variabler eller egenskaper i en datamängd.

Tillämpningsområden sträcker sig från geometri och mekanik till modern datavetenskap där man talar om högdimensionella utrymmen. {\displaystyle V}

Kort historik och betydelse

Idén om dimensioner har rötter i antikens geometri men utvecklades matematiskt av 1800- och 1900-talets forskare när begrepp som n-dimensionella rum och manifolder formaliserades. Riemann introducerade tidiga idéer om krökta mått, och Minkowski betonade rumtidens fyra dimensioner i samband med relativitetsteorin. Begreppet är centralt för många vetenskaper eftersom det ger ett gemensamt språk för att beskriva lägen, rörelse, samband och komplexitet.

Vidare läsning

  1. Terminologi om mått
  2. Perception och rum
  3. Värme och energi
  4. Temperatur och kylning
  5. Matematisk definition av dimension
  6. Frihetsgrader i fysiken
  7. Grad av frihet
  8. Vektorrum
  9. Vektorer
  10. Kardinalitet
  11. Bas i linjär algebra
  12. Längd
  13. Bredd
  14. Djup
  15. Euklidiskt rum
  16. Position
  17. Avstånd
  18. Ursprung
  19. Koordinatriktningar
  20. 4D-begreppet
  21. Tid
  22. Händelse
  23. Rumtid
Från vänster till höger: kvadraten, kuben och tesserakt. Kvadraten är ett tvådimensionellt objekt, kuben är ett tredimensionellt objekt och tesserakt är ett fyrdimensionellt objekt. Ett 1-dimensionellt objekt är bara en linje. En projektion av kuben ges eftersom den ses på en tvådimensionell skärm. Detsamma gäller för tesserakt, som dessutom endast kan visas som en projektion även i ett tredimensionellt rum.  
Från vänster till höger: kvadraten, kuben och tesserakt. Kvadraten är ett tvådimensionellt objekt, kuben är ett tredimensionellt objekt och tesserakt är ett fyrdimensionellt objekt. Ett 1-dimensionellt objekt är bara en linje. En projektion av kuben ges eftersom den ses på en tvådimensionell skärm. Detsamma gäller för tesserakt, som dessutom endast kan visas som en projektion även i ett tredimensionellt rum.  
Ett diagram över de fyra första rumsliga dimensionerna.  
Ett diagram över de fyra första rumsliga dimensionerna.  

Andra dimensioner

Inom den moderna vetenskapen använder man andra dimensioner. Dimensioner som temperatur och vikt kan användas för att visa var något befinner sig i mindre enkla utrymmen. Forskare studerar dessa dimensioner med hjälp av dimensionsanalys.

Matematiker använder också dimensioner. Inom matematiken är dimensioner mer allmänna. Dimensioner i matematiken kanske inte mäter saker i världen. Reglerna för att räkna med dimensioner i matematik kan vara annorlunda än vanliga aritmetiska regler.


 

Mått och vektorer

Vektorer används för att visa avstånd och riktningar. Vektorer används ofta inom teknik och naturvetenskap och ibland inom matematiken.

En vektor är en lista med siffror. Det finns ett nummer för varje dimension. Det finns aritmetiska regler för vektorer.

Om Jane till exempel vill veta var Sally befinner sig kan Sally ge Jane en vektor som visar positionen. Om Jane och Sally befinner sig i världen finns det tre dimensioner. Därför ger Sally Jane en lista med tre tal för att visa hennes position. De tre siffrorna i vektorn som Sally ger Jane kan vara:

  1. Sallys avstånd norr om Jane
  2. Sallys avstånd öster om Jane
  3. Sallys höjd över Jane

 

Relaterade sidor



 

Frågor och svar

Fråga: Vad är en dimension?

A: En dimension är ett sätt att mäta, se och uppleva världen genom att använda begrepp som upp och ner, höger till vänster, bakåt till framåt, varmt och kallt, hur tungt och hur långt. Det kan också definieras som frihetsgrader eller det sätt på vilket ett föremål kan röra sig i ett visst utrymme.

F: Hur definierar matematiker det euklidiska rummet?

S: Matematiker definierar euklidiskt rum som specificerat av tre dimensioner som vanligtvis kallas längd, bredd och djup.

F: Vad är antalet vektorer i ett vektorrum?

S: Antalet vektorer i ett vektorrum är lika med kardinaliteten (eller antalet vektorer) i dess basuppsättning.

F: Hur många dimensioner används för att mäta position?

S: Tre dimensioner (längd, bredd och höjd) används för att mäta position. I vissa fall kan en fjärde (4D) dimension - tid - användas för att visa en händelses position i tid och rum.

F: Vad betyder dim(V)?

S: Dim(V) avser dimensionen för V som är lika med kardinaliteten (eller antalet vektorer) i dess basuppsättning eller lika med antalet riktningar i raka linjer som den har.

F: Finns det en definition som uppfyller alla begrepp som rör dimensioner?

S: Nej, det finns ingen enskild definition som kan uppfylla alla begrepp i samband med dimensioner.

Relaterade artiklar

Författare

AlegsaOnline.com Dimension: rumsliga, tidsmässiga och matematiska mått

URL: https://sv.alegsaonline.com/art/27450

Dela