Inversa kvadratlagen (ibland kallad omvända kvadratlagen) är en generell geometrisk princip i fysiken som säger att styrkan hos en effekt från en punktlik källa avtar proportionellt mot kvadraten på avståndet. Det innebär att om avståndet dubbleras blir effekten en fjärdedel, om avståndet tredubblas blir effekten en niondel o.s.v. Lagen gäller under antagandet att källan är punktlik eller avsänder energi isotropt (lika i alla riktningar) och att ingen absorption eller spridning sker i omgivningen.

Formel

Den generella matematiska formen är

I(r) = K / r²

där I(r) är intensiteten (eller styrkan) på avståndet r från källan och K är en konstant som beror på källa och vilken fysisk storhet som mäts (t.ex. kraftkonstant, utsänd effekt, proportionalitetskonstant).

Tillämpningar och konkreta formler

  • Gravitation — Newtons gravitationslag: F = G m1 m2 / r², där G är gravitationskonstanten, m1 och m2 är massor och r avståndet mellan massorna. Kraften är riktad längs linjen mellan massorna och är alltid attraktiv.
  • Elektrostatik — Coulombs lag: F = (1 / 4πε0) q1 q2 / r², där q1 och q2 är laddningar och ε0 är den elektriska konstanten (permittiviteten i vakuum).
  • Ljus och annan elektromagnetisk strålning — för en punktlik ljuskälla med total utsänd effekt P (strålningsflöde) ger irradiansen (effekt per ytenhet) på avstånd r: E = P / (4π r²). Detta följer av att energin sprids över en sfär med area 4π r².
  • Akustik — i fri fält (inga reflektioner) avtar ljudintensiteten enligt inversa kvadratlagen; motsvarande nivåminskning är ungefär 6 dB per fördubbling av avståndet.

Varför 1/r²? (geometrisk förklaring)

Anledningen är geometrisk: energin eller effekten som lämnar en punktkälla sprids i rymden över ytan av en sfär som växer som 4π r² med avståndet. Om den totala utsända effekten är oförändrad blir effekten per ytenhet därför omvänt proportionell mot sfärens area, alltså ∝ 1/r².

Begränsningar och undantag

  • Lagen gäller i tre-dimensionell rymd för punktlika eller isotropa källor utan absorption eller spridning. I praktiken påverkar medium (absorption, spridning), reflektioner och riktade utsläpp av ljus eller ljud resultaten.
  • För utsträckta källor eller när avståndet är jämförbart med källans storlek gäller inte enkel 1/r²-beroende överallt.
  • I närfältet för vissa vågfenomen (t.ex. nära en högtalare eller antenn) kan avvikande avståndsberoenden förekomma, och vågeffekter som interferens och diffraktion spelar roll.
  • I tvådimensionella eller linjära utbredningsfall förändras beroendet (t.ex. för en lång linjekälla är avtagandet ∝ 1/r, för en plan våg kan intensiteten vara ungefär konstant med avstånd).
  • Relativistiska effekter och icke-newtonska gravitationsteorier ger också avvikelser i extrema situationer (t.ex. nära mycket massiva objekt).

Exempel

En punktlik lampa som avger P = 100 W jämnt i alla riktningar ger på avstånd r = 1 m en irradians

E(1 m) = 100 / (4π·1²) ≈ 7,96 W/m²

På r = 2 m blir irradiansen en fjärdedel:

E(2 m) = 100 / (4π·2²) ≈ 1,99 W/m²

Kort historik

Principen att gravitation och andra långräckviddiga krafter avtar med kvadraten på avståndet blev tydligt formulerad i Isaac Newtons verk Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) för gravitation. Coulomb visade senare på samma inversa kvadratberoende för elektrostatisk kraft (slutet av 1700‑talet). Keplers lagar beskriver planetbanor men är inte en direkt formulering av inversa kvadratlagen; Newton visade hur Keplers empiriska lagar följer av en invers kvadratisk gravitationskraft.

Sammanfattningsvis är inversa kvadratlagen en fundamental, enkel och geometriskt motiverad regel som beskriver hur många fysikaliska effekter avtar med avstånd i tre-dimensionell rymd, men i praktiska situationer måste man också ta hänsyn till källans utbredning, mediumets egenskaper och vågeffekter.