Monty Hall-problemet – förklaring och varför byte ger 2/3 vinstchans

Monty Hall-problemet förklarat: varför byte av dörr ökar vinstchansen till 2/3 — enkel steg-för-steg förklaring, konkreta exempel och visuella resonemang som gör sannolikheten tydlig.

Monty Hall-problemet är ett berömt problem inom sannolikhet (slump). Problemet bygger på ett tv-spelprogram från USA, Let's Make a Deal, och har fått sitt namn efter programledaren Monty Hall.

I problemet finns tre dörrar. En bil (ett pris av högt värde) finns bakom en dörr och getter (ett pris av lågt värde) bakom de andra två. Först väljer spelaren en dörr men öppnar den inte. Därefter öppnar värden, som vet vad som finns bakom varje dörr, en annan dörr som han är säker på att det finns en get bakom. (Om bilen står bakom spelarens valda dörr kan värden välja mellan de två getdörrarna med lika stor sannolikhet.) Till sist får spelaren välja om han eller hon vill behålla sin ursprungliga dörr eller byta till den tredje dörren som fortfarande är stängd. Reglerna innebär att värden aldrig öppnar dörren med bilen och alltid erbjuder byte. Frågan är: ökar chanserna att få bilen om spelaren byter val?

Intuitionen — varför byte hjälper

Det kan först verka som att de två återstående stängda dörrarna har lika stor chans (1/2 vardera). Men eftersom värden alltid öppnar en dörr med en get och känner till var bilen är, påverkar hans handling informationen som spelaren får. Kortfattat:

• När du först väljer en dörr är sannolikheten att du valt bilen 1/3.
• Sannolikheten att bilen ligger bakom en av de andra två dörrarna är alltså 2/3.
• När värden öppnar en get-dörr bland dessa två kvarstående dörrar, konsolideras den 2/3 sannolikheten på den enda kvarvarande stängda dörren (den du kan byta till).

Alltså: om du byter vinner du bilen i 2 av 3 fall (2/3). Om du stannar vinner du endast i 1 av 3 fall (1/3).

Tre tydliga scenarier

Här är samma tanke uppdelad i tre möjliga lägen, där spelaren alltid byter efter att värden öppnat en get-dörr:

1. Spelaren väljer bilen (1/3): Värden öppnar en get. Om spelaren byter, byter hen bort bilen och förlorar.
2. Spelaren väljer get A (1/3): Värden öppnar get B. Om spelaren byter får hen bilen.
3. Spelaren väljer get B (1/3): Värden öppnar get A. Om spelaren byter får hen bilen.

Av dessa tre lika sannolika fall ger byte vinst i två (fallen 2 och 3), alltså 2/3.

Matematisk syn (villkorlig sannolikhet)

Låt P(C) vara sannolikheten att bilen är bakom din ursprungliga dörr (C för "chosen") — P(C)=1/3. Låt P(R) vara sannolikheten att bilen finns bakom den andra stängda dörren efter att värden öppnat en get. På grund av värdens agerande (att han aldrig öppnar bilen) gäller:

• P(bilen är bakom ursprungliga dörren | värden öppnar en get) = 1/3
• P(bilen är bakom den andra kvarvarande dörren | värden öppnar en get) = 2/3

Detta kan också härledas formellt med Bayes sats, men resonemanget ovan är oftast tillräckligt tydligt för att förstå varför sannolikheten förändras till spelarens fördel vid byte.

Vanliga missuppfattningar

• "Efter att en dörr öppnats är det 50/50." Detta är fel här eftersom värdens handling inte är slumpmässig oberoende; han undviker alltid bilen och väljer med vetskap om dörrarnas innehåll.
• "Det spelar ingen roll eftersom värden kunde ha öppnat vilken dörr som helst." Nej — i problemet antar vi att värden medvetet öppnar en dörr med en get, vilket ger information.
• "Om värden öppnar dörr slumpmässigt kan reglerna ändra svaret." Sant: om värden ibland kan öppna bilen eller ibland inte erbjuder byte, måste sannolikheterna omvärderas. Standardproblemet antar att värden alltid öppnar en get och alltid erbjuder byte.

Variationer

• Med fler dörrar: om det finns n dörrar och värden öppnar n−2 dörrar (alla med getter) så blir sannolikheten för vinst vid byte (n−1)/n. Alltså större fördel med byte när n är stort.
• Om värden öppnar en dörr slumpmässigt utan att veta vad som är bakom eller ibland öppnar bilen, måste sannolikheten räknas om och svaret kan bli annorlunda.

Kontrollera själv — simulera

Om du har svårt att lita på resonemanget kan du testa med praktiska försök: spela spelet många gånger, välj alltid bytet i hälften av omgångarna och behåll i den andra hälften. Efter tillräckligt många spel kommer andelen vinster vid byte att närma sig 2/3, medan andelen vinster vid att stanna närma sig 1/3.

Sammanfattningsvis: under de vanliga antagandena (värden vet var bilen är, öppnar alltid en dörr med en get och erbjuder byte) ger det alltid högre sannolikhet att byta — sannolikheten att vinna bilen blir 2/3 vid byte jämfört med 1/3 om du behåller.

Frågor och svar

F: Vad är Monty Hall-problemet?

F. Vad vet presentatören?

F: Ökar chansen att få en bil genom att byta valmöjligheter?

F: Hur fungerar denna sannolikhet?

F: Är det sant att om du byter spel ökar dina chanser att vinna två av tre gånger?

Sök med bokstav